金融科学/风险计算

经济学中的概率

风险的数学理论是概率论。它最初是为机会游戏而设计的。只要没有作弊，它就能让我们计算出它们的平均收益和风险。它也可以应用于包含大量分子的物理系统。它们的随机运动是布朗运动，而且不会作弊。概率存在于自然界中。

经济不是赌场。经济主体并不处于布朗运动中。那么我们在经济学中如何理解概率呢？

当一个随机实验可以重复时，我们可以测量概率。测量的精度随着实验重复次数n的增加而增加。对于物理系统，n可以与分子数量一样大，因此是数十亿数十亿数十亿，因为分子是相同的。这就是为什么概率物理测量可以非常精确的原因。

实验的精度通过相对误差范围来衡量，即误差范围除以测量量。可以证明，对于重复n次的随机实验，当n很大时，相对误差范围等于n的平方根的倒数。

经济主体彼此不同。一个永远不会是另一个的复制品。他们所处的环境也是不可复制的，因为时代在变，因为我们永远不会回到过去。因此，似乎在经济学中，一个实验的最大重复次数等于1。这不足以测量概率。

经济主体并不相同，但有时却非常相似。他们所处的环境也是如此。因此，经济概率有时是可以测量的，其精度取决于测量的重复次数以及不同测量之间相似程度的大小。通常，我们必须满足于非常不精确的估计。

数学理论首先是有用的，因为它教会我们如何思考风险。当概率是可以测量的时，数学模型也可以很好地代表现实。如何衡量风险？

一个项目的风险通过其预期最终收入的离散度来衡量。

一个随机量X用概率定义。如果存在n个可能的输出X(i)，其中i从1变化到n，我们将为它们中的每一个分配一个介于0和1之间的概率p(X = X(i))，两者都包括在内。概率等于1意味着结果是确定的，或者几乎确定。结果不会发生的可能性无限小。如果概率为零，则结果的可能性无限小，几乎不可能发生。

所有i的p(X=X(i))的总和等于1，因为结果是X(i)之一是确定的。

$\sum _{i}p(X=X(i))=1$

均值E(X)，也称为平均值或X的期望值，是所有i的p(X = X(i)) X(i)的总和。

$E(X)=\sum _{i}p(X=X(i))X(i)$

绝对值的平均值从均值偏差是一个分散度量，但标准偏差，即均值偏差的平方的均值的平方根，通常更受欢迎，因为它通常更容易计算。

方差var(X)是平方偏差的均值。

$var(X)=\sum _{i}p(X=X(i))(X(i)-E(X))^{2}=E((X-E(X))^{2})$

标准偏差std(X)是方差的正平方根。

$std(X)={\sqrt {var(X)}}$

标准偏差衡量随机量的离散度，但它不是风险的唯一指标，因为对于相同的标准偏差，均值偏差的离散度可能以非常不同的方式离散。均值偏差的分布，而不仅仅是它们的标准偏差，会影响对风险的评估。但在大多数情况下，标准偏差被认为是风险的充分度量。

一个项目的风险是其预期最终收入的标准偏差。

利润是最终收入和初始成本之间的差额。如果初始成本固定，则利润的标准偏差等于最终收入的标准偏差，因此是相同风险的度量。剩余利润是项目利润与其初始成本以无风险利率投资后应获得的利润之间的差额。如果初始成本固定，则剩余利润的标准偏差因此等于利润的标准偏差，也是相同风险的度量。因此，我们已经证明

定理：如果初始成本固定，项目的风险是其预期剩余利润的标准偏差。

风险的补偿

一个项目的风险可能会被一个或多个其他项目的风险抵消。通过补偿降低风险是通过项目或期权组合来创造价值的一个例子，因为风险必须被计入成本。

考虑一个抛硬币游戏。你可以押注反面，风险为 1，有 1/2 的概率赢取 2。押注反面意味着获得一个赢得 2 的选择权。这个选择权的价格为 1。赢得的期望值也为 1 = 0.5 x 2。根据金融理论，一个项目的价值并不等于其预期收益，必须考虑到风险。对于相同的预期收益，项目越冒险，其价值越低。因此，我们应该得出结论，押注反面并希望赢得 2 的价格 1 被高估了，因为这个项目是冒险的，但这个结论是错误的。我们可以组合项目。多个项目的预期收益是每个项目的预期收益之和。如果我们同时押注正面和反面，我们得到一个无风险的项目来赢得 2。如果押注正面和反面的选择权价格低于 1，我们可以将它们组合起来，并通过支付低于 2 的价格获得一个无风险的项目来赢得 2。这样，就可以从任何初始押注中无风险地获得无限利润，这是不可能的。因此，押注正面或反面的选择权的价值由它们的预期价值正确评估。我们可以忽略它们的风险，因为可以抵消它。押注正面的风险可以通过押注反面的风险来抵消，从而得到一个无风险的项目。

我们可以用非常冒险的选择权组合一个无风险的投资组合。因此组成的无风险投资组合的收益是构成它的资产收益的加权总和。如果这些资产的收益率高于无风险资产的收益率，那么这样组成的无风险投资组合的收益率将高于其他无风险投资组合的收益率，人们可以通过出售无风险投资组合并购买收益率更高的无风险投资组合来获得无限利润，而无需承担风险。但金融市场不允许我们无风险地获得无限利润。因此，一旦冒险资产可以成为无风险投资组合的一部分，就应该像无风险资产一样对其进行估值。为了评估冒险资产，必须考虑到风险，但不是资产本身固有的风险，而是作为资产组成部分的投资组合的最小风险，因为可以通过组合投资组合来降低风险，因为一种风险可以被另一种风险抵消。只有在无法抵消的情况下，风险才具有成本。在对金融资产进行估值时，必须考虑不可减少的风险。这是指通过构建投资组合无法进一步降低的风险。一旦金融期权和其他资产可以成为无风险投资组合的一部分，就应该像无风险资产一样对其进行估值，因为它们的风险可以降低到零。

一个项目或一个选择权不应被评估为孤立的，与其他项目分离，因为那样会高估风险成本。为了评估一个项目，我们必须评估不可减少的风险，因此我们必须评估该项目对一个最优项目的价值的贡献，该最优项目由多个项目组成，这些项目的风险相互抵消，部分或全部，以最优的方式。同一个项目可以为不同的项目做出贡献，这些项目有不同的风险，但如果它们是最优项目，其贡献价值始终相同。我们通过使风险多样化来降低风险，前提是它们是独立的，或者不太依赖。当一个项目可以重复多次时，如果每次成功与之前和之后的成功无关或依赖性很小，就可以降低其风险。

降低风险可能需要时间。目前的风险可以被以后承担的风险抵消。目前的风险可以被以后承担的风险抵消。不好的年份可以被好年份抵消。保险公司的作用是通过抵消风险来降低风险。如果它没有降低风险，或者没有做得足够好，它本身就是一个冒险的行业。由一家有破产风险的公司提供保险，与根本没有保险没什么区别。

独立性、协方差和相关性

为了计算风险补偿，我们必须考虑随机利润之间的独立性和协方差。

两个事件 A 和 B 是独立的当且仅当它们联合发生的概率等于它们各自概率的乘积，p(A 和 B) = p(A) p(B)。

两个随机量 X 和 Y 是独立的当且仅当所有事件 X = X(i) 与所有事件 Y = Y(j) 独立，p(X=X(i) 和 Y=Y(j)) = p(X=X(i)) p(Y=Y(j))，对于所有 i 和所有 j。

两个随机量之间的协方差衡量了一个随机量的变化与另一个随机量的变化之间的相关性。如果一个随机量的变化的平均符号与另一个随机量的变化的平均符号相同，则协方差为正。如果一个随机量的变化的平均符号与另一个随机量的变化的平均符号相反，则协方差为负。正协方差意味着这些量更常以相同的方向变化，而不是相反的方向变化。负协方差意味着它们更常以相反的方向变化，而不是相同的方向变化。零协方差意味着它们以相同的方向变化的频率与以相反的方向变化的频率一样多。

两个随机量 X 和 Y 的协方差 cov(X,Y) 是它们偏离平均值的乘积的平均值 E( (X-E(X))(Y-E(Y)) )

cov(X,Y) = 所有 i 和所有 j 的 p(X=X(i) 和 Y=Y(j))(X(i)-E(X))(Y(j)-E(Y)) 的总和。

定理：对于所有随机量 X、Y、Z 和任何实数 a，

cov(X,Y) = cov(Y,X)
cov(X,X) = var(X)
cov(X,a) = 0
cov(X,Y+Z) = cov(X,Y) + cov(X,Z)
cov(X,Y+a) = cov(X,Y)
cov(X,aY) = a cov(X,Y)

证明：它们直接从协方差的定义得出。

var(X+Y) = var(X) + 2cov(X,Y) + var(Y)

证明：var(X+Y) = cov(X+Y,X+Y) = cov(X,X) + 2cov(X,Y) + cov(Y,Y)

定理：如果随机量 X 和 Y 是独立的，则它们的协方差为零。

证明： $cov(X,Y)=\sum _{i,j}p(X=X(i))p(Y=Y(j))(X(i)-E(X))(Y(j)-E(Y))=\sum _{i}p(X=X(i))(X(i)-E(X))\sum _{j}p(Y=Y(j))(Y(j)-E(Y))=0$ ，因为 $\sum _{i}p(Y=Y(j))Y((j)=E(Y)$ 以及 $\sum _{j}p(Y=Y(j))=1$ .

两个随机量 X 和 Y 的相关系数 cor(X,Y) 是它们的协方差除以它们的标准差的乘积，cov(X,Y)/(std(X) std(Y))。

定理：如果两个随机量 X 和 Y 之间的相关系数严格小于 1，则它们的和 X+Y 的风险严格小于它们风险的总和。

证明： $(std(X+Y))^{2}=var(X+Y)=var(X)+2cov(X,Y)+var(Y)<var(X)+2std(X)std(Y)+var(Y)$ 如果 $cor(X,Y)<1$ 。 $(std(X)+std(Y))^{2}=var(X)+2std(X)std(Y)+var(Y)$ ，所以 $(std(X+Y))^{2}<(std(X)+std(Y))^{2}$ 和 $std(X+Y)<std(X)+std(Y)$ 。

特别是，如果 X 和 Y 风险且独立，则它们总和的风险严格小于它们风险的总和。

定理：如果两个随机量 X 和 Y 之间的相关系数 cor(X,Y) 等于 1，则存在两个实数 a 和 b，a > 0，使得 Y = aX +b 几乎总是成立。

如果一个陈述的概率等于 1，则该陈述几乎总是成立，或者几乎处处成立。

引理：如果 var(X) = 0，则 X = E(X) 几乎总是成立。

引理的证明：如果 X 不同于 E(X) 的概率不为零，则 (X - E(X))² > 0 的概率也是如此，并且 var(X) > 0。定理的证明：设 a = std(Y)/std(X)。var(Y - aX) = var(Y) - 2a cov(X,Y) + a²var(X) = 0，因为 cov(X,Y) = std(X)std(Y)。因此，Y - aX = E(Y) - a E(X) 几乎总是成立。因此定理成立。当 Y = aX +b 对于两个常数 a 和 b 时，我们说 Y 是 X 的仿射函数。

在下文中，我们将不区分几乎总是成立的陈述和仅仅成立的陈述。

最佳项目

如果一个经济体可以细分为许多独立的项目，使得一个项目的成功或失败不依赖于其他项目的成功或失败，那么就有可能抵消所有风险，并为整个经济体获得几乎为零的风险。但是，同一经济体中的项目通常不是独立的。一些项目的繁荣取决于其他项目的繁荣。一个项目的破产会导致其他项目的破产。这就是为什么有些风险无法抵消的原因。风险有时是不可减少的，因为同一经济系统的参与者是相互依存的。不可减少的风险是系统性的。

一个项目是最佳的，当且仅当它在所有具有相同平均利润和相同初始成本的项目中具有最小的风险。 最佳项目的风险是不可减少的，因为在不降低平均利润的情况下无法降低风险。

先前对最佳项目的定义等效于以下定义：一个项目是最佳的，当且仅当它在所有具有相同风险和相同初始成本的项目中具有最大的平均利润。

最佳利润应使用市场价格、平均价格或普通价格来评估。它们代表整个经济体可获得的投资机会。如果有便宜货，与普通价格相比非常有利的价格，在评估最佳利润时不应该计算它们，因为它们只是幸运代理人的特殊条件，并不代表整个经济体。

最佳项目的杠杆

杠杆通过改变项目的最终收益来改变项目的初始成本。人们可能会希望它可以将一个次优项目转变为一个最佳项目，但这种希望是徒劳的。

定理：如果一个项目是最佳的，那么如果它以无风险利率部分或全部用贷款融资，因此利用杠杆效应，它仍然是最佳的。

证明：借款会降低平均利润，因为利息必须偿还，但不会改变利润的离散程度，因为利息是在事先固定的。因此，项目的风险不会因借款而改变。盈余利润不会因融资方式而改变，并且它对于项目的风险是最佳的。因此，无论项目的融资方式如何，该项目都是最佳的。

一个风险项目由一系列随机成本和收益组成，所有日期都已确定，从中我们可以计算出初始成本、最终收益、利润和盈余利润，所有这些都是随机的。设 X 是表示风险项目盈余利润的随机量。

定理：如果 X 是一个最佳项目的随机盈余利润，该项目的初始成本 C 不是随机的，那么 X 也是一个初始成本为 D 的最佳项目的随机盈余利润，无论 D 是什么。

证明：如果 D < C，则以无风险利率借款 C - D 就足以将初始成本恢复到 D，而不会改变盈余利润。如果 D > C，则以无风险利率借款 D - C 就足以将初始成本从 C 增加到 D，而不会改变盈余利润。

如果初始成本是随机的，则可以通过决定借入所有未由事先确定的初始金额或收益覆盖的成本，将其设定为任意值，可能是零。因此，最佳项目仅由其随机盈余利润来表征，而不是由其初始成本表征。

定理：一个项目是最佳的，当且仅当它在所有具有相同平均盈余利润的项目中具有最小的风险。

证明：这是前一个定理的直接结果。

最佳项目的组合

定理：**如果 X 是一个最佳项目的随机盈余利润，那么 aX 也是一个最佳项目的盈余利润，如果 a > 0。**

证明：如果 a < 1，购买项目 X 的 a 部分就足以获得最佳的盈余利润 aX。如果 a > 1，则只需将项目 X 的规模扩大 a 倍即可。

一个项目对于市场条件来说是最佳的，而市场条件被假定为无限可复制的。这就是为什么假设最佳项目规模可以无限扩大。这是一个理论上的简化。实际上，项目的规模扩大总是有局限性的。

定理：**如果 X 和 Y 是两个最佳项目的随机盈余利润，那么 X + Y 也是一个最佳项目的随机盈余利润。**

证明：如果我们购买 X 和 Y，我们将得到一个随机盈余利润为 X + Y 的项目。如果 X + Y 的风险小于 X 和 Y 风险之和，那么 X 和 Y 的风险可以通过将它们合并在一起并分享它们的共同风险来降低，而 X 和 Y 就不再是最佳的盈余利润。因此，X + Y 的风险不能小于 X 和 Y 风险之和，因此也不能降低。

所有最佳项目之间的相关性

定理：**两个有风险的最佳项目不能是独立的。** 证明：如果它们是独立的，那么通过将它们组合在一起就可以降低风险。然而，最佳项目具有不可降低的风险。因此，它们不是独立的。

特别是，重复相同的风险最佳项目并不能降低其风险，因为连续项目彼此之间不独立。

最佳项目之间的依赖性非常强。所有最佳项目都密切相关。

定理：**最佳风险项目的盈余利润都是同一随机量的严格正倍数。**

证明：设 X 和 Y 是两个风险最佳项目的盈余利润。它们的和的风险 std(X+Y) 等于它们风险之和 std(X) + std(Y)，否则将它们合并在一起将降低风险，它们将不再是最佳的。所以 cor(X,Y) = 1。所以 Y = aX + b，其中 a 和 b 是常数，并且 a > 0。Y 和 aX 都是最佳的盈余利润，所以 b = 0。风险最佳项目的盈余利润都是彼此的倍数，因此都是其中一个的倍数。因此得到定理。

这个定理非常令人惊讶，几乎难以置信，甚至可能让人担心它会导致荒谬的结果。最佳项目可以在不同的地方和不同的时间进行。然而，只要知道一个最佳项目的最终收入，就足以知道所有最佳项目的最终收入。例如，一个在此时此地结束的最佳项目的最终收入应该足以知道世界各地现在或将来所有最佳项目的最终收入。因此，执行一个最佳项目就应该像一个水晶球，可以预测所有现在和将来所有最佳项目的结果。但这样一来，这些项目将不再有风险，因为它们的最终收入将提前知道。因此，执行一个最佳项目并观察其结果就足以将所有风险降至零，我们将不再需要风险理论和保险公司。

我们找不到这个水晶球，因为我们永远无法知道一个风险项目是否是最优的。在我们执行之前我们无法知道，因为最终收入的概率无法准确得知。我们执行之后也无法知道，原因相同。

当我们估计风险来识别最佳项目时，我们不能断定它确实是最佳的，因为我们的估计永远不够精确，我们只能断定它可能与最佳项目没有太大差异。

代表所有风险最佳项目的单个随机量的存在是数学模型的结果。它假设所有事件的所有概率都事先被精确地定义，就好像所有概率都事先被写下，带有无限的小数位数一样。这种概率的精确性在现实中是不存在的，因为没有任何东西是完全可复制的。这就是为什么代表所有其他项目的单个风险最佳项目在现实中不存在。它只具有数学上的存在。

即使它只以数学方式存在，代表所有最佳风险项目的独特随机量也具有现实意义。这意味着执行最佳风险项目的代理人都在同一条船上。他们要么一起赢，要么一起输，但一些人的损失不能由其他人的收益来弥补，否则风险就可以降低。

当我们对不可减少的风险进行赌博时，我们押注所有同样对不可减少的风险进行赌博的人的成功，因此我们都是团结的，我们不相互对抗。如果我们相信我们都会一起成功，那么我们就被鼓励进行赌博。如果我们相信我们都会一起失败，那么我们就会被劝阻进行赌博。执行风险最佳项目的动力来自于所有冒险者之间的团结以及他们的希望。

当我们对不可减少的风险进行赌博时，我们获得了分享期望的集体成功利润的权利，但同时我们也承诺，如果它是集体失败，我们将承担一部分损失。

风险承担者是那些有能力预付资金的人，因此是资本家。为了优化他们的投资，他们有兴趣团结起来，因此要像社会主义者或共产主义者一样思考。所以我们已经证明了

定理：**要成为优秀的金融家，我们必须像共产主义者一样思考。**

风险与时间

时间会对风险产生多种影响。

时间会增加风险，因为盈利需要时间。时间越长，利润增加的可能性就越大，它们的离散程度也越大，因此风险也越大。
目前的风险可以通过未来的风险来抵消。因此，时间的推移通过跨期补偿来降低风险：好年头弥补了坏年头。
一个项目在时间上越遥远，就越难预测其最终收入。因此，项目的收入在时间上越遥远，风险就越大。随着时间的推移，与最终收入的距离会缩短。因此，时间的推移通过减少不确定性来降低风险。

为了评估风险，我们必须通过考虑所有可用信息来估计概率。

一个项目在给定的概率下是最优的，则它在相对意义上是最优的。

当投资组合的构成随时间推移发生变化时，它就被称为动态管理。

如果投资组合的构成保持不变，则它被称为静态管理。

新信息始终会出现，并可能导致我们改进概率估计并减少不确定性。因此，相对最优的项目可能会随着时间推移而发生变化。时间越长，我们对最佳项目的评估就越好，我们越能降低风险。如果我们没有动态管理项目，我们就忽略了这种降低风险的可能性，因此有更大的风险损失更多资金。因此，投资组合或项目必须进行动态管理才能保持相对最优。