金融科学/风险的成本与收益
当一个项目有风险时，投资者要求以超额利润的形式获得承担风险的补偿。一个项目的超额利润是指其利润超出如果投资于无风险利率所获得的利润的差额。
风险的成本是针对特定风险可以获得的最佳平均超额利润。
最佳项目的平均超额利润随风险变化而变化，使得可以衡量风险成本：风险成本是补偿风险所需的平均超额利润。
定理：风险成本与风险成正比。
证明：假设一个最佳项目的所有权在几个股东之间共享，他们共同分享利润。超额利润的标准差在所有股东之间以与超额利润相同的方式共享。因此，每个股东收到的补偿与其承担的风险成正比，因为风险可以通过超额利润的标准差来衡量。因此，风险成本除以风险是一个常数 k。因此，我们证明了
定理：存在一个风险价格常数 k，使得 kR 是风险 R 的成本。
这个风险价格常数是无量纲的，因为利润的标准差与超额利润具有相同的量纲。如果货币单位是美元，则风险和风险成本以美元衡量。我们将在后面证明，风险价格常数 k 必然小于 1。它真的是一个常数，并且具有普遍性吗？不，因为对风险的态度以及对相同风险所需的补偿会随着时间的推移而变化。对所有公司和所有项目来说，它都相同吗？不一定，因为标准差不是表征风险的唯一条件。不同的项目可以具有非常不同的利润和损失分布，同时具有相同的利润标准差。这些分布差异会影响对风险的感知和对补偿的要求。但是，利润的标准差可以被认为是对大多数项目来说的一个良好的风险衡量指标。这就是为什么风险价格常数 k 可以被认为对所有项目和公司都相同的原因。
只要知道最佳无风险项目的平均利润和最佳风险项目的平均利润，就可以计算出风险价格常数 k，从而计算出所有风险的成本，因此可以计算出所有项目的价值。最佳无风险项目和最佳风险项目就像衡量标准，我们可以用它们来衡量所有项目的价值，无论它们是否最佳。
k 是多少？贴现率是最佳无风险利润率。2% 或 3% 的年利率是现实的价值，也许更多，高达 4% 或 5%，如果所有者非常有利，也许更低，在经济衰退时期。一个管理良好的公司在保持谨慎的同时承担风险，其平均利润率为每年 10%，标准差为 15%。如果贴现率为每年 2% 或 3%，那么这将使超额利润率达到 7% 或 8%，风险为 15%。如果我们假设这些值代表了最佳项目不可减少的风险，那么 k 约为 1/2。
如果最终收益的标准差为 R，则风险成本为 kR。此成本是在项目结束日进行评估的。为了计算项目的预期价值，必须在项目启动日将此成本折现。
定理：风险成本必须以与其他成本和收益相同的贴现率折现。
证明：如果我们将最终收益置于无风险利率，我们将通过延迟获得新的最终收益，这些收益只是乘以相同的贴现因子。因此，最终收益的标准差也乘以相同的贴现因子。由于没有承担新的风险，因此预期的风险成本不应修改。因此，该定理成立。
有时通过改变用于计算项目价值的贴现率来评估风险成本。这种计算方式似乎对使用它的人来说很有意义，因为真正的贴现率是根据无风险零息债券评估的。他们得出结论，应该对风险项目使用另一个贴现率。但这种推理毫无道理。相同的贴现率用于估值成本和收益。贬低损失因为它们有风险没有意义。风险损失的成本并不比平均而言相等的无风险损失更低，而是更高，因为它们会增加项目的风险。贴现率取决于特定日期整个经济的状况，而不是取决于用于评估的项目。所有项目的成本和收益，无论是否有风险，都应该使用相同的贴现率进行评估。
风险及其成本有时使用年度利润率的标准差进行估计，因为这种标准差似乎是风险的一个良好衡量指标。但是，这种风险成本计算并不准确。例如，考虑一个为期两年的项目，其两年超额利润率为 60% 或 -20%，概率相等。两年平均超额利润率为 20%。标准差为 40%，所以如果 k = 1/2，这个项目是最佳的。令 r = 2% 为年贴现率。因此，两年利润率为 64.04% 或 -15.96%。每两年 64% 为 1.64^(1/2) - 1 = 28.1% 年。每两年 -16% 为 (0.84)^(1/2) - 1 = -8.3%。因此，年度超额利润率为 26.1% 或 -10.3%，概率相等。年度平均超额利润率为 (26.1-10.3)/2 = 7.9%，年度超额利润率的标准差为 (26.1+10.3)/2 = 18.2%。利润率和超额利润率仅相差一个常数，因此它们的标准差相同。如果我们使用年度利润率的标准差来评估风险，我们就会得出结论，这个项目是次优的，而实际上它是最佳的。因此，对于持续多年的项目来说，年度利润率的标准差不是一个好的风险衡量指标。
风险价格使我们能够计算出风险不可减少的随机收益或损失的价值。随机收益的价值是平均收益减去风险成本。随机损失的价值是平均损失加上风险成本
考虑以 1/2 的概率获得 100，因此平均收益为 50。收益的标准差，因此风险，等于 50。如果风险价格常数为 k，则此风险的成本为 50k，因为假设 50 的风险是不可减少的。因此，如果该随机收益的风险是不可减少的，那么它的价值等于 50(1-k)。考虑以 1/2 的概率损失 100，因此平均损失为 50。损失的标准差，因此风险，等于 50。此风险的成本为 50k。因此，如果该随机损失的风险是不可减少的，那么它的价值等于 50(1+k)。
如果 k = 1/2，那么对于一个与不可减少的金融风险对赌的人来说，有 1/2 的概率赢得 100 的成本为 25。在抛硬币游戏中，这种机会的成本为 50。在国家彩票中，成本为 100。因此，那些喜欢冒险的人有兴趣与不可减少的金融风险对赌。
定理：风险价格常数 k 始终严格小于 1。
证明：如果 k 等于 1，则在没有损失风险的情况下，非零平均收益将为零，就像彩票可以免费获得一样。因此，我们可以从无限的利润中获益，而无需冒失去一分钱的风险。这种利润不被金融法允许。如果 k 严格大于 1，则在没有损失风险的情况下，非零平均收益将为负值。这意味着我们可以被支付来接受它，这是不可能的。
在比较平均利润相同的项目时，风险被视为成本。但如果我们比较初始成本相同的最佳项目，风险也可以被视为利润，因为风险越高，平均利润就越高。如果我们考虑初始成本为零的最佳项目，风险也是一种益处。当我们可以以无风险利率借款来完全为风险项目融资时，这种项目是可能的。然后，我们从无限杠杆中获益。
假设贴现率为每年 2%，风险价格常数 k 为 0.5。这意味着利润的标准差为 1 必须抵消平均利润的增加 0.5。考虑一个项目，今天花费 100，其唯一收入是一年后的 126 或 94，每个的概率都是 1/2。平均利润为 10。利润的标准差为 16。平均盈余利润为 8。这个风险项目是最佳的，因为风险等于 16 已被平均利润的增加 16k = 8 抵消。这种补偿证明了承担风险的合理性。
假设我们可以以无风险利率借款 100 来为之前的风险项目融资。我们必须在一年的时间内偿还 102。所以我们有 1/2 的机会赢得 24，1/2 的机会损失 8。这就像玩一个 3 比 1 的硬币抛掷。
3 比 1 的赔率取决于风险价格常数 k=0.5，但对于一个最佳的风险项目，只要风险成本大于零，它就总是大于 1 比 1。
考虑一个项目，今天花费 100，其唯一收入是一年后的 118 + 16k 或 86 + 16k，每个的概率都是 1/2。平均利润为 2 + 16k。利润的标准差为 16。平均盈余利润为 16k。该项目是最佳的，因为我们通过平均利润增加 16k 抵消了等于 16 的风险。如果我们以无风险利率借款 100 来为之前的项目融资，我们有 1/2 的机会赢得 16 + 16k，1/2 的机会损失 16 - 16k。因此，我们以 1+k 比 1-k 的概率进行游戏，因此以 (1+k)/(1-k) 比 1 的概率进行游戏，概率相等。这些赔率只取决于风险价格常数 k，而不取决于贴现率。因此，我们证明了
定理：**如果风险价格常数为 k，我们可以以相等的概率以 (1+k)/(1-k) 比 1 的概率进行游戏。**
只有不可约风险才能产生这种利润。如果风险可以降至零，就像在普通的硬币游戏中一样，正面或反面的赔率必须是 1 比 1，否则其中一个玩家会受到伤害。不可约风险是针对命运的。没有其他对手。
当我们可以以相等的概率以 (1+k)/(1-k) 比 1 的概率进行游戏时，我们不能重复游戏多次来增加利润并降低风险，因为那样我们会降低风险。然而，假设风险是不可约的。