光子的波/计算

一般

概率 P = (ʃ(I²)dωt)/2π，从 0-2π

ʃsin²(nωt+φ)dωt，从 0-2π = ʃcos²(nωt+φ)dωt = π（如果 n = 整数）

双缝

有两个波sin(ωt+φ₁)和sin(ωt+φ₂)的干涉

结果是 I = √(a₁² + a₂² + 2a₁a₂cos(φ₁-φ₂)) sin(ωt+φ) [1]

概率 P = ʃ(I²)dωt，从 0-2π = (a₁² + a₂² + 2a₁a₂cos(φ₁-φ₂) ʃsin²(ωt+φ)dωt = (a₁² + a₂² + 2a₁a₂cos(φ₁-φ₂)π

如果 a₁ = a₂ = 1 且 φ₁-φ₂ = φ：P = 2π(1+cosφ)。归一化到 1：P = 0.5+0.5cosφ

如果 a₁ = 0.5，a₂ = 1 且 φ₁-φ₂ = φ：P = π(1.25+0.5cosφ)。归一化到上面：P = 0.5+0.2cosφ

线性偏振器

x 和 y 平行于偏振器轴，两个偏振器垂直安装，α 是入射偏振角，φ 是由路径长度差引起的相位差

两个波是 x = cosαsin(ωt+φ/2) 和 y = sinαsin(ωt-φ/2)

合并：I = √(x² + y²)

概率 P = ʃ(I²)dωt，从 0-2π = ʃ(x² + y²)dωt = cos²αʃsin²(ωt+φ/2)dωt + sin²αʃsin²(ωt-φ/2)dωt = (cos²α + sin²α)π = π。归一化：P = 1，因此没有 φ 干涉图案。

沃尔伯恩

x 和 y 被选择平行于四分之一波片的轴。两个板垂直安装，α 是入射偏振角，φ 是由路径长度差引起的相位差

x = x₂ + x₁ = cosαsin(ωt-π/2-φ/2) + cosαsin(ωt+φ/2) = 2cosαcos(π/4+φ/2)sin(ωt-π/4)

y = y₂ + y₁ = sinαsin(ωt-φ/2) + sinαsin(ωt-π/2+φ/2) = 2sinαcos(π/4-φ/2)sin(ωt-π/4)

合并：I = √(x² + y²)

概率 P = ʃ(I²)dωt，从 0-2π = ʃ(x² + y²)dωt = (4cos²αcos²(π/4+φ/2) + 4sin²αcos²(π/4-φ/2))ʃsin²(ωt-π/4))dωt = 4(cos²α (0.5+0.5cos(π/2+φ)) + sin²α (0.5+0.5cos(π/2-φ))π = 2π(cos²α + sin²α + cos²αcos(π/2+φ) + sin²αcos(π/2-φ)) = 2π(1 - cos²αsin(φ) + sin²αsin(φ)) = 2π(1 + (-cos²α + 1 - cos²α)sin(φ)) = 2π(1 + (1-2cos²α)sinφ) = 2π(1 + (1 - 2(0.5+0.5cos2α))sinφ) = 2π(1 - cos2αsinφ)

归一化：P = 0.5 - 0.5cos2αsinφ

如果 α = 随机：P = 0.5ʃ(1-cos2αsinφ)dα 从 0 到 2π = |α - 0.5sin2αsinφ| = (2π - 0 - 0 + 0) = 2π。归一化：P = 1

洪-奥-曼德尔

假设分束器是带有反射面的玻璃板，导致（只有）来自法线输入的反射具有 π 的相移。两个光子以相同的相位从 KDP 开始。然后在上下（u）和下（l）检测器处，波为

I_u = -0.5sin(ωt+φ/2) + 0.5sin(ωt-φ/2) = -cosωtsin(φ/2) 和 I_l = 0.5sin(ωt+φ/2) + 0.5sin(ωt-φ/2) = sinωtcos(φ/2)

概率 P_u = ʃ(I²)dωt），从 0-2π = sin²(φ/2)ʃcos²ωtdωt = (0.5-0.5cosφ)π 和 P_l = cos²(φ/2)ʃsin²ωtdωt = (0.5+0.5cosφ)π。

归一化：P_u = (0.5 - 0.5cosφ) 和 P_l = (0.5 + 0.5cosφ)

并且同时：P = P_u * P_l = (0.5 - 0.5cosφ) (0.5 + 0.5cosφ) = 0.25 - 0.25cos²φ。归一化：P = 0.5 - 0.5cos²φ

相移两个波之间的相移可能是由不同的波长（1+p）和分束器的位移导致的，这会导致一条路径中的 Δt。如果 t 是 KDP 和 D_u 之间的时间，那么相位差可以写成

φ = φ₂ - φ₁ = ω(1+p)(t+Δt) + π - ω(1-p)t = ωt + ωpt + ωΔt + ωpΔt - ωt + ωpt + π = 2ωpt + ωΔt + ωpΔt + π = ωΔt + ωp(2t+Δt) + π

这是对于固定 p 的公式，但实际上存在不同波长的混合。使用理想带宽滤波器 P_u 在 p = -d/2 - +d/2 之内相等（并在外部为零）。当在上面的 P_u 公式中使用时

P_u = ʃ (0.5 - 0.5cos(π + ωΔt+ωp(2t+Δt)) dp / d 从 -d/2 - +d/2 = ʃ (0.5 + 0.5cos(π + ωΔt+ωp(2t+Δt)) dp / d

= 0.5 | p - sin(ωΔt+ωp(2t+Δt)) / ω(2t+Δt) | / d

= 0.5(d/2 - sin(ωΔt+ωd(2t+Δt/2))/ω(2t+Δt) + d/2 - sin(ωΔt-ωd(2t+Δt)/2)/ω(2t+Δt) ) / d

= 0.5(1 - 2cos(ωΔt) sin(ωd(2t+Δt)/2) / ωd(2t+Δt)

= 0.5 - cos(ωΔt) sin(ωd(2t+Δt)/2)) / ωd(2t+Δt)

ω = 2πf = 2π/T = 2πc/λ，所以 T = λ/c，Δt = 2Δx/c（Δx 有双重作用），所以 Δt/T = 2Δx/λ。假设 t = kλ。然后

= 0.5 - cos(2πc2Δx/λc) sin(2πd(2kT+Δt)/2T)) / (2πd(2kT+Δt)/T)

P_u = 0.5 - 0.5cos(4πΔx/λ) sin(πd(2k+2Δx/λ)) / πd(2k+2Δx/λ)

并且P_l = 0.5 - 0.5cos(4πΔx/λ) sin(πd(2k+2Δx/λ)) / πd(2k+2Δx/λ)

并且同时：P = P_u * P_l

第二个正弦部分的一般形式是

Δx_FWHM = cΔt/2 = 0,00148 λ/d = 0,000443 λ/d μm（λ 以 nm 为单位）