理论力学/向量代数

标量和向量

标量

标量是简单的值。它们描述了一些东西，比如高度、长度、质量、椅子数量，用一个实数。例如，10把椅子，5公斤，2米：10、5和2是标量。

向量

向量具有大小和方向。例如，球的速度既有速度，也有它运动的方向。

基向量

所有笛卡尔坐标系都有与维度相同的基向量数量；对于理论力学中的大多数应用，向量空间是E₃，其基向量是e_x、e_y、e_z。

您可能还会看到${\hat {\imath }}$用于e_x，${\hat {j}}$用于e_y，以及${\hat {k}}$用于e_z。

然后，每个向量都是这些基向量的线性组合。通常，向量被写成元组，因此向量ae_x + be_y + ce_z等价于元组(a, b, c)。

任何向量的单位向量可以通过将其所有分量除以长度来找到：V = 3e_x + 4e_y
长度：|V| = sqrt (3² + 4²) = sqrt (9 + 16) = sqrt 25 = 5
单位向量e_v = (3/5)e_x + (4/5)e_y

3/5 等于该向量与 X 轴夹角的余弦，4/5 是该向量与 Y 轴夹角的余弦
argcos(3/5) = 约 53°
argcos(4/5) = 约 37°
注意两个角度加起来是 90°。这意味着该向量位于 XY 平面内。如果加起来超过这个数，则位于 3D 体积内，而不是平面内。

相等性

当且仅当两个向量的方向和大小都相同时，这两个向量才相等。
4e_x ≠ 5e_x
4e_x ≠ 4e_y
4e_x + 8e_y - 1e_z ≠ 4e_x + 8e_y + 3e_z
4e_x = 4e_x
10e_y = 10e_y
4e_x + 8e_y - 1e_z = 4e_x + 8e_y - 1e_z

向量乘以标量

将向量的幅度乘以标量。
4e_x + 3e_y * 2 = 8e_x + 6e_y
3e_a * 5 = 15e_a

两个向量之间的夹角

这是两个向量之间的最小角。

添加两个向量

两个向量按分量相加，如下所示

(a₁e_x + a₂e_y + a₃e_z) + (b₁e_x + b₂e_y + b₃e_z) = (a₁ + b₁)e_x + (a₂ + b₂)e_y + (a₃ + b₃)e_z

所以，例如

(2e_x + 1e_y + 3e_z) + (e_x + 1e_y + e_z) = (3e_x + 2e_y + 4e_z)

减去两个向量

从向量B中减去向量A与将A和-1 * B加在一起没有什么不同。

点积

a*b*cos θ
其中：a、b 是向量的幅度；θ 是向量之间的角度。

A.B = a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z

其中 A、B 是两个向量；a_x 是向量 A 的 X 分量，...

点积的性质：是一个标量。当等于零时：向量之间的夹角为 90°。或其中一个向量为零。最大值：向量之间的夹角为 0°

叉积

U = A x B
U = a * b * sin θ
U = (A_y * b_z - a_z * b_y) e_x
+ (A_z * b_x - a_x * b_z) e_y
+ (A_x * b_y - a_y * b_x) e_z

叉积的性质：是一个垂直于 A 和 B 的向量