三维电子显微镜/傅里叶变换
作者：David J DeRosier
名誉教授,
生物系& Rosenstiel 基础医学科学研究中心,
布兰迪斯大学
大多数分子电子显微镜的学生都避开学习傅里叶变换。然而，在旨在培养学生分子电子显微镜技能的学校，聚集的班级必须参加一两节关于傅里叶变换的讲座。一个关于这个主题的数学讲座通常对教职工来说比对学生更有吸引力，学生们利用这个机会做白日梦或干脆睡觉，因为他们前一天晚上在酒吧里待了一半的时间。我想，为什么这样一个数学运算会对那些只是想知道一些细胞机器的分子结构的人感兴趣并不明显。
我的目标是告诉你为什么要对你的电子显微照片进行傅里叶变换，你可以从傅里叶变换中学到什么，如何在不进行数学计算的情况下思考傅里叶变换，以及如何在需要时生成傅里叶变换。由于显微镜和图像分析是视觉化的，我将许多课程以图片的形式呈现。我无意证明各种变换的特性，而是展示结果。关于这个理论有很多书籍。
傅里叶变换是一种用于分析复杂数据的工具。本质上，它是一个数学函数，可以将基于空间或时间的 data 转换为幅度和频率。这使得数据能够一目了然地进行分析，更重要的是，它使调整信号的特征变得非常容易。傅里叶变换的应用包括处理和分析声音、视频、图像以及其他大型、复杂的数据源。从模拟技术到数字技术的过渡，推动了这种技术的应用增加。由于最初的变换算法非常长且计算机资源密集，一种名为快速傅里叶变换 (FFT) 的计算机友好版本由 J.W. Cooley 和 J.W. Tukey 在 1965 年独立发明。
在透射电子显微镜图像分析中，傅里叶变换被大量用来去除收集图像中的低分辨率数据。去除低分辨率数据，即快速傅里叶变换产生的图像的中心，是一种在不丢失太多识别信息的情况下提高图像对比度的方法。通常需要去除一些高分辨率数据，这些数据位于快速傅里叶变换的外部，因为隧道电子显微镜的收集方法经常会扭曲数据。执行此步骤的必要性因记录图像的质量而异。例如，使用直接检测器而不是胶片将大大提高图像质量，并允许保留更多转换后的数据，从而导致更高分辨率的 3D 重建。
从电子显微镜图像中获取数据并进行转换也有利于 3D 重建。即使在图像经过处理后，傅里叶变换也是完全且容易逆转的，因此，3D 重建通常使用 2D 图像的傅里叶变换生成。
傅里叶变换涉及许多不同类型的数学，但傅里叶变换数学中最常见的元素是复数。复数通常以某种形式出现，但常见的形式是 . 现在 i 代表虚数。你可能会问自己，为什么完全要涉及这些数字或复数数学？其实很简单，复数使事物很好地结合在一起。而不是为你列出数百个方程并堆砌成千上万个不同的数学证明让你去理解，复数缩短了它们，使它们看起来更优雅。复数只是傅里叶方程和变换中出现的一个元素。
图 1：傅里叶级数公式，普渡大学。
上面列出的图 1 对傅里叶级数公式的外观进行了恰当的描述。它用正弦和余弦表示，这在频率中很常见。傅里叶级数和变换允许将任何类型的数据转换为频率和幅度，并且它也允许我们从数据中删除某些频率。这使我们能够清理大多数数据或图像，在我们的案例中就是图像。这对电子显微镜非常有用，因为从 EM 拍摄的许多图像都充满了像差或图像的未聚焦。傅里叶变换使我们能够将看到的图像转换为频率或幅度，并允许我们修改或“删除”频率的某些部分，以便清理图像并纠正数据中看到的或发现的任何像差。然后，通过运行傅里叶变换的逆变换，将频率转换回图像，并进行必要的修正。
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