数学永恒定理/婆罗摩笈多定理

婆罗摩笈多定理指出，如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直（即，对角线垂直），那么从对角线交点到一条边的垂线总是平分对边。

这个定理以印度数学家婆罗摩笈多 (598-668) 的名字命名。

证明

陈述

如果任何圆内接四边形的对角线互相垂直，那么从对角线交点到一条边的垂线总是平分对边。

证明

如果$BM\perp AC$ 且 $EF\perp BC,$ 那么根据婆罗摩笈多定理，$AF=FD,$

命题： 设 $ABCD$ 是一个圆内接四边形，其对角线 $AC$ 和 $BD$ 相互垂直，并在点 $M$ 相交。从点 $M$ 向边 $BC$ 作垂线 $ME$，并延长 $EM$ 与对边 $AD$ 相交于点 $F$。需要证明 $AF=DF$。

证明： $\angle CBD=\angle CAD$ [因为两者都是截取同一弧 $CD$ 的圆周角]

或者，$\angle CBM=\angle MAF$

这里，$\angle CMB+\angle CBM+\angle BCM=180$°

或者，$\angle CMB+\angle BCM=180$° $-\angle CBM$

同样，$\angle CME+\angle CEM+\angle ECM=180$°

或者，$\angle CME+\angle CMB+\angle BCM=180$° [因为 $\angle CMB=\angle CEM=90$° 以及 $\angle BCM=\angle ECM$]

或者，$\angle CME+180$° $-\angle CBM=180$°

或者，$\angle CME=\angle CBM$

或者，$\angle AMF=\angle MAF$ [因为，\angle AMF = \angle CME; 对顶角]

因此，$AF=MF$

同样地，$\angle MDF=\angle DMF$ 以及 $MF=DF$

或者，$AF=DF$ [证毕]