数学永恒定理/介值定理

介值定理是微积分中的一个基本定理。该定理指出，如果一个函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b],$ 上是连续的，那么对于任何在 $(f(a)$ 和 $f(b),$ 之间定义的任何值 $y$ ，都至少存在一个值 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=y$ 。

介值定理：f(x) 在 [a, b] 上是连续的，存在至少一个定义在 (a, b) 上的值 c，使得 f(c) = y。

证明

陈述：如果一个函数 $f$ 在 $[a,b],$ 上是连续的，那么对于任何在 $f(a)$ 和 $f(b),$ 之间的每个 $y$ ，都至少存在一个值 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=y$ 。

证明：假设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，并且 $f(a)<f(b).$

考虑一个函数 $g(x)=f(x)-y.$ 定义 $g(x)$ 的目的是研究 $f(x)$ 相对于值 $y$ 的行为。

由于$f$ 在$[a,b]$ 上连续，而$y$ 是一个常数，$g(x)=f(x)-y$ 也是在$[a,b],$ 上连续，因为两个连续函数的差是连续的。

现在，$f(a)<y$ [因为$c\in (a,b)$ 并且$y=f(c)$]

或者，$f(a)-y<0$

$\therefore g(a)<0$

同理，$g(b)>0$

由于$g(x)$ 是连续的，并且$g(a)$ 定义在$x$ 轴下方，而$g(b)$ 定义在$x$ 轴上方，因此在区间$[a,b]$ 中至少存在一个点$c$，使得$g(c)=0$。

因此，在点 $c$，$g(c)=f(c)-y=0\implies f(c)=y$

∴ 存在至少一个点 $c$ 在区间 $[a,b]$ 中，使得 $f(c)=y.$ [已证明]