数学永恒定理/中点定理

中点定理是几何学中的一个基本概念，它建立了三角形边中点之间的关系。这个定理指出，当你连接三角形两边的中点时，得到的线段平行于第三边。此外，这条线段的长度恰好是第三边长度的一半。

证明

陈述

在一个三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段平行于第三边，并且是其长度的一半。

利用全等三角形证明

命题：令 $D$ 和 $E$ 是三角形 $ABC$ 中 $AC$ 和 $BC$ 的中点。需要证明的是：

$DE\parallel AB$ 以及；
$DE={\frac {1}{2}}AB$ .

作图：添加 $D$ 和 $E$ ，将 $DE$ 延长到 $F$ ，使得 $EF=DE$ ，然后添加 $B$ 和 $F$ 。

证明：[1] 在三角形 $\Delta CDE$ 和 $\Delta EBF,$

$CE=BE$ ; [已知]

$DE=EF$ ; [根据作图]

$\angle CED=\angle AEF$ ; [对顶角]

∴ $\Delta CDE\cong \Delta EBF$ ; [边角边定理]

所以， $\angle CDE=\angle BFE$

∴ $CD\parallel BF$

或者， $AD\parallel BF$ 并且 $CD=BF=DA$

因此， $ADFB$ 是一个平行四边形。

∴ $DF\parallel AB$ 或者 $DE\parallel AB$

[2] $DF=AB$

或者 $DE+EF=AB$

或者， $DE+DE=AB$ [因为， $\Delta CDE\cong \Delta EBF$ ]

或者， $2DE=AB$

或者， $DE={\frac {1}{2}}AB$

∴ 在三角形 $\Delta ABC,$ 中， $DE\parallel AB$ 且 $DE={\frac {1}{2}}AB$ ，其中 $D$ 和 $E$ 分别是 $AC$ 和 $BC$ 的中点。 [已证]

利用坐标几何证明

命题： 设 $D$ 和 $E$ 分别是三角形 $ABC$ 中 $AC$ 和 $AB$ 的中点，其中 $A,B,C$ 的坐标分别为 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})$ 。需要证明，

$DE={\frac {1}{2}}BC$ 且
$DE\parallel BC$

证明： [1] 线段 $BC={\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}$ 的长度

点 $A(x_{1},y_{1})$ 和 $C(x_{3},y_{3})$ 的中点是 $D({\frac {x_{1}+x_{3}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{3}}{2}})$ 。

同理，点 $A(x_{1},y_{1})$ 和 $B(x_{2},y_{2})$ 的中点是 $E({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}})$

∴ 线段 $DE={\sqrt {({\frac {x_{1}+x_{3}}{2}}-{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}})^{2}+({\frac {y_{1}+y_{3}}{2}}-{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}})^{2}}}$ 的长度为

$={\sqrt {({\frac {x_{1}+x_{3}-x_{1}-x_{2}}{2}})^{2}+({\frac {y_{1}+y_{3}-y_{1}-y_{2}}{2}})^{2}}}$

$={\sqrt {{\frac {(x_{3}-x_{2})^{2}}{4}}+{\frac {(y_{3}-y_{2})^{2}}{4}}}}$

$={\sqrt {\frac {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}{4}}}$

$={\frac {\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}{2}}$

$={\frac {1}{2}}BC$ ; [因为， $BC={\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}$ ]

[2] 线段 $BC,$ 的斜率为 $m_{1}={\frac {y_{2}-y_{3}}{x_{2}-x_{3}}}$

线段 $DE,$ 的斜率为 $m_{2}={\frac {{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-{\frac {y_{1}+y_{3}}{2}}}{{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-{\frac {x_{1}+x_{3}}{2}}}}$ $={\frac {\frac {y_{1}+y_{2}-y_{1}-y_{3}}{2}}{\frac {x_{1}+x_{2}-x_{1}-x_{3}}{2}}}$ $={\frac {\frac {y_{2}-y_{3}}{2}}{\frac {x_{2}-x_{3}}{2}}}$ $={\frac {y_{2}-y_{3}}{x_{2}-x_{3}}}$ $=m_{1}$ ; [因为， $m_{1}={\frac {y_{2}-y_{3}}{x_{2}-x_{3}}}$ ]

因此， $DE\parallel BC$

∴ 在三角形 $\Delta ABC,$ 中， $DE\parallel BC$ 且 $DE={\frac {1}{2}}BC$ ，其中 $D$ 和 $E$ 分别是 $AC$ 和 $AB$ 的中点。[已证明]