数学永恒定理/多项式余数定理

多项式余数定理是多项式欧几里得除法的应用。它是代数中最基本和最流行的定理之一。它指出，多项式$P(x)$被线性多项式$(x-r)$除后的余数等于$P(r)$.

示例

示例 1

证明多项式$f(x)=x^{2}-2x+2$被线性多项式$(x-1)$除后的余数等于$f(1)$。解 : 用以下方法将$f(x)=x^{2}-2x+2$除以$(x-1)$。

x - 1 ) x^2 - 2x + 2 ( x - 1
        x^2 - x
        ------------
            - x + 2
            - x + 1
        ------------
                  1

由于$f(1)=1^{2}-2(1)+2=1$，因此余数等于$f(1)$.

示例 2

证明多项式$F(x)=ax^{2}+bx+c$被线性多项式$(x-m)$除后的余数等于$F(m)$。解 : 用以下方法将$F(x)=ax^{2}+bx+c$除以$(x-m)$。

x-m ) ax^2+bx+c ( ax+am+b
      ax^2-amx
      ------------------
           amx+bx+c
           amx     -am^2
      ------------------
               bx+c+am^2
               bx-bm
      ------------------
               am^2+bm+c

由于，$f(m)=am^{2}+bm+c$，因此余数$am^{2}+bm+c$ 等于 $f(m)$。

证明

命题

如果$P(x)$ 是一个正次多项式，并且 $a$ 是任何确定数字，则 $P(x)$ 除以 $(x-a)$ 的余数将是 $P(a)$

证明

一个正次多项式 $P(x)$ 除以 $(x-a)$ 的余数要么是 0，要么是一个非零常数。假设余数是 $R$，商式是 $Q(x)$。那么，对于 $x$ 的每一个值，

$P(x)=(x-a)$·$Q(x)+R....(i)$

将 $x=a$ 代入方程 $(i)$，我们得到 $P(a)=0$ · $Q(a)+R=R$。因此，$P(x)$ ÷$(x-a)$ 的余数等于 $P(a)$。