数学永恒定理/勾股定理

勾股定理是欧几里得几何中直角三角形三边之间的基本关系。它指出，直角三角形斜边的平方等于另两条边的平方和。^[1]

在这个直角三角形中，根据勾股定理，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

该定理以希腊哲学家毕达哥拉斯（公元前570年 - 公元前495年）的名字命名。但是，埃及人和巴比伦人早在毕达哥拉斯之前1500年就了解了勾股定理的版本。

证明

陈述

在直角三角形中，斜边上的正方形等于另外两条边上的正方形之和。

借助两个直角三角形证明

命题：在三角形$ABC,\angle B=90$°中，斜边$AC=b,$ $AB=c$ 以及 $BC=a$。需要证明$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2},$ 即$b^{2}=c^{2}+a^{2}$.

作图：将$BC$延长到$D$，使得$CD=AB=c$。另外，在$D$点作延长线$BC$的垂线$DE$，使得$DE=BC=a$。连接$C,E$ 和 $A,E$.

詹姆斯·A·加菲尔德用梯形证明勾股定理

证明 : 在 $\Delta ABC$ 和 $\Delta CDE$ 中，$AB=CD=c,BC=DE=a$，且夹角 $\angle ABC$ = 夹角 $\angle CDE$ [因为 $\angle ABC=\angle CDE=90$°]

因此，$\Delta ABC\cong \Delta CDR$. [边角边定理]

∴$AC=CE=b$，且 $\angle BAC=\angle ECD$.

再者，由于 $AB\perp BD$ 且 $ED\perp BD,AB\parallel ED$。因此，$ABDE$ 是一个梯形。

$\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB=180$°

即，$90$°$+\angle BAC+\angle ACB=180$°

即，$\angle BAC+\angle ACB=90$°

即，$\angle RCD+\angle ACB=90$° [因为 $\angle BAC=\angle ECD$]

再者，$\angle BCD=180$°

或者，$\angle BCA+\angle ACE+\angle ECD=180$°

或者 $\angle ACE=90$°

∴$\Delta ACE$ 是一个直角三角形。

现在，梯形 $ABDE=\Delta ABC+\Delta CDE+\Delta ACE$

或者，${\frac {1}{2}}BD(AB+DE)={\frac {1}{2}}(AB)(BC)+{\frac {1}{2}}(CD)(DE)+{\frac {1}{2}}(AC)(CE)$

或者，${\frac {1}{2}}(a+c)(c+a)={\frac {1}{2}}ac+{\frac {1}{2}}ac+{\frac {1}{2}}b^{2}$

或者，${\frac {1}{2}}(a+c)^{2}={\frac {1}{2}}(2ac+b^{2})$

或者，$(a+c)^{2}=(2ac+b^{2})$

或者，$a^{2}+2ac+c^{2}=2ac+b^{2}$

或者，$b^{2}=a^{2}+c^{2}$ [证毕]

[注意：美国第 12 任总统詹姆斯·A·加菲尔德在两个直角三角形的帮助下证明了勾股定理。他证明勾股定理的论文发表在 1876 年 4 月 1 日的《新英格兰教育杂志》第 161 页上]

借助代数证明

命题：设在三角形 $c$ 是斜边，$a,b$ 是其他两条边。需要证明的是，$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

勾股定理的代数证明

作图：如图所示，画出四个与 $\Delta ABC$ 全等的三角形。

证明： 图中的大正方形面积为$(a+b)^{2}$ [因为每条边的长度都相同，$(a+b)$，且每个角都是直角]。

小四边形的面积为$c^{2}$，因为该形状是正方形。 [因为每条边都是$c$，并且四边形的每个角都是直角（利用两个直角三角形证明）]。

根据图形，$(a+b)^{2}=4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}$

即 $a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}$

即 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ [得证]