拓扑模/巴拿赫空间

定义（巴拿赫空间）:

巴拿赫空间是一个完备的赋范线性空间。

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命题（巴拿赫空间的级数判别法）:

令 $X$ 为一个带有范数 $\|\cdot \|$ 的赋范线性空间。 则 $X$ 是一个巴拿赫空间当且仅当

$\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<\infty$ 蕴含着 $\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}x_{n}$ 在 $X$ 中存在，

只要 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $X$ 中的一个序列。

证明：首先假设 $X$ 是一个巴拿赫空间。 然后假设 $\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|$ 收敛， 其中 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $X$ 中的一个序列。 然后令 $S_{N}:=\sum _{n=1}^{N}x_{n}$；我们断言 $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ 是一个柯西序列。 实际上， 对于充分大的 $M>0$， 我们有

$N\geq M\Rightarrow \|S_{M}-S_{N}\|=\left\|\sum _{n=M+1}^{N}x_{n}\right\|\leq \sum _{n=M+1}^{N}\|x_{n}\|\leq \sum _{n=M+1}^{\infty }\|x_{n}\|<\epsilon$.

因此，$(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ 也收敛，因为 $X$ 是一个巴拿赫空间。

现在假设对于所有序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，蕴含

$\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<\infty \Rightarrow \lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}x_{n}$

成立。 然后设 $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $X$ 中的柯西序列。 根据柯西性质，对于所有 $k\in \mathbb {N}$，选择一个数 $N_{k}\in \mathbb {N}$ 使得 $\|y_{m}-y_{n}\|<1/2^{k}$ 当且仅当 $m,n\geq N_{k}$。 我们可以假设 $N_{1}\leq N_{2}\leq \cdots \leq N_{k}\leq \cdots$，即 $(N_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 是一个自然数的升序序列。 然后定义 $x_{1}:=y_{N_{1}}$ 并且对于 $k\geq 2$ 设定 $x_{k}:=y_{N_{k}}-y_{N_{k-1}}$。 然后

$\sum _{j=1}^{k}x_{j}=y_{N_{k}}$.

此外，

$\sum _{j=1}^{k}\|x_{j}\|\leq \|y_{N_{1}}\|+\sum _{j=2}^{k}2^{-(k-1)}$,

因此

$\sum _{j=1}^{\infty }\|x_{j}\|$

作为单调递增的有界序列而收敛。根据假设，序列 $(S_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 收敛，其中

$S_{k}=\sum _{j=1}^{k}x_{j}=y_{N_{k}}$.

因此，$(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是一个柯西序列，它有一个收敛的子序列，并且 因此收敛。 $\Box$