拓扑模/构造

定义（商拓扑模）:

令 $M$ 是拓扑环 $R$ 上的拓扑模，并令 $N\leq M$ 是具有子空间拓扑的子模。 那么模 $M/N$ 以及商拓扑，即由商映射 $q:M\to M/N$ 诱导的最终拓扑，被称为 $M$ 的 **商模**。

命题（商拓扑的商映射是开映射）:

令 $M$ 是拓扑模，并且 $N\leq M$ 是子模。 那么映射 $q:M\to M/N$ 是开映射。

证明：令 $U\subseteq M$ 是任何开集。 我们有

$p^{-1}(p(U))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U+n$

它是开集的并集，因此是开集。 $\Box$

命题（商拓扑模是拓扑模）:

令 $M$ 是拓扑模，并且 $N\leq M$ 是子模。 那么商模 $M/N$ 是具有子空间拓扑的拓扑模。

证明： $\Box$