拓扑模/正交投影

定理（冯·诺伊曼遍历定理）:

令 $H$ 为希尔伯特空间，并令 $U:H\to H$ 为酉算子。 此外，令正交投影到空间 $W:=\{x\in H|Ux=x\}$ 由 $P_{W}:H\to H$ 给出。 然后

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}=P_{W}$,

其中极限是在 $B(H)$ 上的算子范数方面取的，$B(H)$ 是 $H$ 上的有界算子空间。 此外，不等式

$\left\|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}-P_{W}\right\|\leq {\frac {2}{n}}$

是收敛速度的一个有效估计。

证明：首先假设 $x\in H$ 和 $z\in W$。 然后

${\begin{aligned}\langle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x-P_{W}(x),z\rangle &=\langle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x-P_{W}(x),z\rangle +{\frac {n}{n}}\langle P_{W}(x)-x,z\rangle \\&=\langle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x-x,z\rangle \\&={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\langle U^{k}x,z\rangle -\langle x,z\rangle \right)\\&{\overset {z\in W}{=}}{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\overbrace {\langle U^{k}x,U^{k}z\rangle } ^{=\langle x,z\rangle }-\langle x,z\rangle \right)=0.\end{aligned}}$

此外，如果我们设置

$y_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x$,

我们会得到

${\begin{aligned}\|Uy_{n}-y_{n}\|^{2}&=\langle y_{n}-Uy_{n},y_{n}-Uy_{n}\rangle \\&={\frac {1}{n^{2}}}\langle Ux-U^{n+1}x,Ux-U^{n+1}x\rangle \\&={\frac {1}{n^{2}}}\left(\langle Ux,Ux\rangle -\langle U^{n+1}x,Ux\rangle -\langle Ux,U^{n+1}x\rangle +\langle U^{n+1}x,U^{n+1}x\rangle \right)\\&{\overset {\text{Cauchy‒Schwarz}}{\leq }}{\frac {4\|x\|^{2}}{n^{2}}}.\end{aligned}}$

如果现在序列 $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 收敛，我们可以看到它的极限确实包含在 $W$ 内。从之前相应的考虑来看，我们可以推断出序列 $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 确实收敛于 $P_{W}(x)$。因此，我们只需证明该序列在算子范数下收敛即可。由于 $H$ 是希尔伯特空间，证明 $\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ 是一个柯西序列就足够了。但由于

${\begin{aligned}\|y_{n}-y_{mn}\|&=\left\|y_{n}-\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{m}}U^{nk}y_{n}\right\|\\&\leq \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{m}}\|y_{n}-U^{nk}y_{n}\|\\&\leq {\frac {2\|x\|}{n}}\end{aligned}}$

对于 $m\geq 1$ 情况如此；差距使用以下方法缩小

${\begin{aligned}\|y_{n}-y_{m}\|&=\left\|{\frac {m-n}{mn}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x-{\frac {1}{m}}\sum _{k=n+1}^{m}U^{k}x\right\|\\&\leq {\frac {m-n}{mn}}\|x\|+{\frac {m-n}{m}}\|x\|.\end{aligned}}$

在倒数第二个计算中取 $m\to \infty$，得到所需的收敛速度。这些计算还揭示了收敛的根本原因：序列变得越来越均匀，因为对其应用 $U^{m}$ 不会对其产生很大的改变。$\Box$