拓扑模/拓扑张量积

希尔伯特空间的张量积

命题（正交基的张量积是张量积的正交基）:

设$H_{1},H_{2}$ 是希尔伯特空间，并假设$(e_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 是 $H_{1}$ 的正交基，而$(f_{\mu })_{\mu \in \mathrm {M} }$ 是 $H_{2}$ 的正交基。则$(e_{\lambda }\otimes e_{\mu })_{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }$ 是 $H_{1}\otimes H_{2}$ 的正交基。

证明： 设任意元素

$\sum _{j=1}^{n}f_{j}\otimes g_{j}$

假设给定 $H_{1}\otimes H_{2}$；根据定义，$H_{1}\otimes H_{2}$ 的每个元素都可以由此类元素近似。令 $\epsilon >0$。然后根据正交基的定义，我们发现 $m_{j},l_{j}$ 对于 $j\in [n]$ 以及 $\alpha _{j,k},\beta _{j,k},\lambda _{j,k},\mu _{j,k}$ 对于 $j\in [n]$，然后是 $k\in [m_{j}]$ 分别为 $[l_{j}]$，使得

$\left\|\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}-f_{j}\right\|<\epsilon$ 以及 $\left\|\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}-g_{j}\right\|<\epsilon$.

然后注意到，根据三角不等式，

$\left\|\sum _{j=1}^{n}f_{j}\otimes g_{j}-\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|\leq \sum _{j=1}^{n}\left\|f_{j}\otimes g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|$.

现在固定 $j\in [n]$。然后根据三角不等式，

${\begin{aligned}\left\|f_{j}\otimes g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|&\leq \left\|f_{j}\otimes g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes g_{j}\right\|+\left\|\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|\\&=\left\|f_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\right\|\|g_{j}\|+\left\|\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right\|\left\|g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|\\&\leq \epsilon \left(\|g_{j}\|+\left\|\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right\|\right).\end{aligned}}$

总的来说，我们得到

$\left\|\sum _{j=1}^{n}f_{j}\otimes g_{j}-\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|\leq \epsilon \sum _{j=1}^{n}\left(\|g_{j}\|+2\|f_{j}\|\right)$

(假设给定的和足够好地近似 $f_{j}$ )，它可以任意小，因此 $e_{\lambda }\otimes f_{\mu }$ 形式的张量的生成空间在 $H_{1}\otimes H_{2}$ 中稠密。 现在我们断言这个基是正交的。 事实上，假设 $(\lambda ,\mu )\neq (\lambda ',\mu ')$。 那么

$\langle e_{\lambda }\otimes f_{\mu },e_{\lambda '}\otimes f_{\mu '}\rangle =\langle e_{\lambda },e_{\lambda '}\rangle \langle f_{\mu },f_{\mu '}\rangle =0$.

类似地，当 $\lambda =\lambda '$ 且 $\mu =\mu '$ 时，上述表达式等于 $1$。因此，$(e_{\lambda }\otimes e_{\mu })_{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }$确实构成了 $H_{1}\otimes H_{2}$的正交基。$\Box$