交通地理与网络科学/无标度网络

引言

无标度网络具有异质性，其节点之间连接状态（度数）分布极不均匀：网络中少数节点被称为中心节点，拥有极其多的连接，而大多数节点只有少数连接。少数中心节点在无标度网络的运行中起着主导作用。广义上讲，无标度网络的无标度性质是一种内在属性，它描述了大量复杂系统整体上连接状态分布极不均匀的特性。

研究表明，将统计动力学应用于网络可以适用于广泛的社会、生物和技术网络。与许多集中于微观或局部相互作用的物理学领域不同，网络研究利用了本质上是归纳的方法。尽管统计分析反驳了无标度网络的说法并对其他网络提出了严重的质疑，但许多网络已被报道为无标度网络。为了解释真实网络中幂律度数分布，提出了优先连接机制和网络增长理论。

无标度性质的发现

万维网被称为最大的以人为本的网络。该信息系统的大小超过万亿$(10^{7})$，大于人脑$10^{11}$。由于组织和个人兴趣的多样性，它被认为是一个任意的网络，因此文档可以随机链接到其他文档。然后，圣母大学的 Hawoong Jeong 创建了其中一个 Web 域。出乎意料的是，结果有所不同。在随机网络中，通常禁止高度连接节点的中心节点。然而，在万维网的拓扑结构中，一些度数节点和具有大量链接的节点并存。这导致了“无标度”性质的发现。

这个来自 WWW 的样本在 Albert 的 1999 年研究中被映射。并且度数的分布显示在双对数轴上（log-log 图），其中幂律遵循一条直线。gamma in 为 2.1，gamma out 为 2.45。由于 gamma-in 低于 gamma-out，gamma-in 比 gamma-out 线更直。如图所示，与预期获得的表征随机网络的泊松分布相比，网络展示了幂律分布。这可以简化为“无标度网络”是指度数分布为幂律分布的网络。

幂律分布

   $P_{k}$ ~ $k^{-r}$

这是幂律分布方程，指数 gamma 是其度数指数。K 代表节点的度数；链接的数量。P 是概率；分数。

定义无标度性质的数学方法

从数学上讲，无标度网络意味着度数分布的统计矩没有定义（Zhao, Park and Lai, 2004）。 无标度性质可以用离散形式或连续形式的数学方法来定义。

离散形式

离散形式提供了在精确数量的 k 个链接处的概率 P_k，因为链接的数量始终为正且离散，例如 k = 0, 1, 2 等等。根据“归一化条件”和“黎曼ζ函数”，可以根据以下公式获得该方程

$P_{k}=k^{-r}/\zeta (r)$

连续形式

$P(k)=(r-1)k_{min}^{r-1}k^{r-1}$

与离散形式相比，这种形式是连续的，这意味着度数可以在感兴趣的区间内具有任何正实数。可以考虑概率密度，而不是概率本身的值。P(k) 不再是概率，而是每 x 个单位的概率。根据连续形式，可以在一定范围内获得概率 P(k)。

中心节点

中心节点 是随机网络和无标度网络之间最主要的区别。它代表了高度节点的分布，这些节点大部分不存在于随机网络中，而自然存在于无标度网络中。通过计算最大度数 k_max，可以看出中心节点的大小是如何受到网络大小的影响的。它被称为“自然截断”，是指网络中最大中心节点的预期大小。

根据随机网络和无标度网络的公式，可以识别网络的大小如何影响枢纽的大小。

随机网络

$K_{max}=K_{min}+lnN/{\lambda }$

$lnN/{\lambda }$ 是系统大小的“慢函数”[1]。这表明节点的度数不会明显地从最小链接数量发生改变。

无标度网络

$K_{max}=K_{min}N^{\dfrac {1}{r-1}}$

随着无标度网络的网络规模增加，可以看出节点的度数将显著增加。这再次强调了枢纽在随机网络中是被禁止的，但在无标度网络中它们是逻辑上存在的。

随机网络和无标度网络之间的区别

• 无标度网络就像航空网络。机场是节点，航班是节点之间的连接。由于节点拥有少量带有大量链接的枢纽，大城市的机场拥有大量前往其他城市的航班，这些航班充当枢纽。
• 随机网络就像高速公路。所有城市都通过高速公路系统连接，没有城市拥有大量的高速公路。例如，当驾车从悉尼前往墨尔本时，车辆需要经过许多城市，而使用飞机则可以通过一次直飞到达目的地。
• 在随机网络中，节点的度数是可比较的，因为枢纽是被禁止的。这导致出现一个钟形曲线，遵循泊松分布。

无标度结构的机制

网络的增长

在真实网络中，节点数量持续增加，而随机网络中的节点数量 N 是固定的。

优先连接

在优先连接中，节点倾向于连接到拥有许多其他链接的节点和无标度网络中的节点。相反，在随机网络中，节点随机选择其他节点，而不管节点的度数如何。

优先连接示例

在上面的示例中，在第一个图中，每个链接节点被另一个节点连接的概率相等。然而，在第二个图中，具有两个链接的节点被选择的概率为 50%，而其他每个节点都只有一个链接，这使得只有一个链接的节点被选择的概率只有 25%。最后，在最后一个图中，选择了具有 50% 链接的节点。因此，现有节点拥有的链接越多，它被选择的可能性就越大。

由于互连性导致的脆弱性

在无标度网络中

随机网络和无标度网络之间的主要区别在于枢纽的存在。无标度网络中的枢纽据说是无限链接的，并且一个节点不是其他节点的典型代表。无标度网络易受协调攻击，但对意外故障具有鲁棒性。

在随机网络中

级联故障通常是由互连性引起的。其中一个例子是 2003 年北美停电。对于电力，冗余度低于其他网络。电力是交通系统之一。由于电力无法储存，因此必须在生产后立即使用。并且，如果一个节点发生故障，它将由于互连性而影响其他节点。这被称为“级联故障”。该图显示了 2003 年北美停电前后 20 小时的情况。由于城市之间的互连性，其他城市无法提供电力。

参考文献

BARABÁSI, A.-L., & PÓSFAI, M. (2016). 网络科学。

Albert, R., Jeong, H. & Barabási, A. L. 万维网的直径。自然 401, 130–131 (1999)。

Zhao, L., Park, K. 和 Lai, Y. (2004)。由于级联故障导致的无标度网络的攻击脆弱性。物理评论 E，70(3)。