UMD 分析资格考试/Aug05 真题

问题 1

设$f$ 是 $R$ 上的有界可测函数，存在一个常数$C$ 使得 $\forall \epsilon >0,m(x\in R:|f|>\epsilon )<C/{\sqrt {\epsilon }}$ 证明 $f\in L^{1}(R)$.

解答 1

我们将考虑两个不同的区域：{x:|f(x)|>1} 和 {x:|f(x)|<=1}，然后证明 f 在这些区域上的积分都是有限的。由于 f 有界，由 M 限制，我们可以利用假设 m(x:|f(x)|>1) < C/1，第一个积分由 MC 限制。

对于第二个积分，考虑集合 E_n={x:|f(x)|<1/n}。根据假设，m(E_n)<C*n^1/2。对于 n>m，E_n 显然包含 E_m，所以我们可以取集合 S_n=E_n+1\E_n，它就是 {x:1/(n+1)<|f(x)|<=1/n}。利用集合包含关系，我们也可以得到 m(S_n) 的界限。S_n 的度量可能大于 C*(n+1)^1/2-C*n^1/2（最多为 C*(n+1)^1/2），但这种额外的质量只能以 m(E_n) 为代价获得，因此会减少 |f| 的积分。由于我们感兴趣的是最大化这个积分并证明这个最大值是有限的，因此 C*(n+1)^1/2-C*n^1/2 的界限是合理的（即这是最坏的情况，随着 1/n 趋于零，每个后续的 E_n 都具有最大可能的尺寸）。

这使得积分的上界为从 n=1 到无穷大的求和 (C*(n+1)^1/2-C*n^1/2)/n（通过 m(S_n)*(S_n 上 |f| 的上限)）。通过比较连续项，我们得到了 C*n^1/2*(1/(n-1) - 1/n) 的求和，对于 n = 2 到无穷大，在 n=1 处有一个有限项。在计算减法后，每个项都变为 C*n^1/2/(n*(n-1))，它的大小为 C/n^3/2。因此，求和收敛，并为积分提供了上限。

注意：S_n 尺寸的论证是正确的，但肯定可以更好地表达。