UMD 分析资格考试/2006 年 8 月真题

问题 1a

证明黎曼-勒贝格引理的以下版本：令 $f\in L^{2}[-\pi ,\pi ]\!\,$ 。详细证明

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx\rightarrow 0\!\,$ 作为 $n\rightarrow \infty \!\,$

这里 $n\!\,$ 表示正整数。您可以使用多种技术，但您不能简单地引用黎曼-勒贝格引理的另一个版本。

解答 1a

注意 $e^{-inx}=\cos(nx)-i\sin(nx)\!\,$ 。

因此，我们可以等价地证明

$\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\rightarrow 0\!\,$ 作为 $n\rightarrow \infty \!\,$

论点

令 $\psi (x)\!\,$ 是一个阶跃函数。

$\int _{-\pi }^{\pi }\psi (x)\cos(nx)\rightarrow 0\!\,$ 作为 $n\rightarrow \infty \!\,$

证明

${\begin{aligned}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (x)\cos(nx)&=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\int _{\xi _{i-1}}^{\xi _{i}}\cos(nx)dx\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{i}{\frac {1}{n}}\underbrace {(\left.\sin(nx)\right|_{\xi _{i-1}}^{\xi _{i}})} _{<2}\\&\leq 2\max _{i}c_{i}{\frac {1}{n}}\\&\rightarrow 0{\mbox{ as }}n\rightarrow \infty \end{aligned}}\!\,$

阶跃函数可以很好地逼近 L^1 函数

由于 $f\in L^{2}[-\pi ,\pi ]\!\,$ ，那么 $f\in L^{1}[\pi ,\pi ]\!\,$

因此，给定 $\epsilon >0\!\,$ ，存在 $\psi (x)\!\,$ 使得

$\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)-\psi (x)|dx<\epsilon \!\,$

${\begin{aligned}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)&=\int _{-\pi }^{\pi }([f(x)-\psi (x)+\psi (x)]\cos(nx))dx\\&\leq \int _{-\pi }^{\pi }|f(x)-\psi (x)|\cos(nx)+\int _{-\pi }^{\pi }|\psi (x)|\cos(nx)\\&\leq \epsilon \cdot 2\pi +\epsilon \end{aligned}}$

问题 1b

令 $n_{k}\!\,$ 是一个递增的正整数序列。证明 $\{x|\lim \inf _{k\rightarrow \infty }\sin(n_{k}x)>0\}\!\,$ 的测度为 0。

注意：你可以认为上面的集合是可测量的。

解 1b

为了简洁起见，令 S 为所有满足条件的 x 的集合。如果 S 的测度为正，则 S 包含一个测度为正的子集，在这个子集上，liminf[sin(n_kx)] 由某个正常数界限以下；即，liminf[sin(n_kx)] 在 S 上的积分将为正。如果 S 的测度为零，则相同的积分将为零。因此，我们只需要计算一个适当的积分来证明 m(S)=0。

由于我们不知道 S 的测度是否有限，我们取一个函数序列 f_k(x)=2^-|x|*sin(n_kx)，每个函数显然都是可积的。根据 Fatou 引理，liminf[f_k(x)] 在 S 上的积分小于等于 f_k(x) 在 S 上的积分的 liminf。然而，每个 f_k 都是 L¹ 函数 2^-|x|*sin(n_kx)。根据黎曼-勒贝格引理，当 n_k 趋于无穷大时，此函数趋于 0。

因此，我们最初在 S 上的严格正函数的积分由 0 上限，所以 m(S)=0。

问题 3

假设 $(x^{p}+{\frac {1}{x^{p}}})f\in L^{2}(0,\infty )$ ，其中 $p>1/2$ 。证明 $f\in L^{1}(0,\infty )$ .

Solution 3

令 $A=||(x^{p}+{\frac {1}{x^{p}}})f||_{L^{2}(0,\infty )}$ ，则我们可以写成

${\begin{aligned}||f||_{L^{1}(0,\infty )}=\int _{0}^{\infty }|f|&=\int _{0}^{1}|f{\frac {1}{x^{p}}}||x^{p}|+\int _{1}^{\infty }|{\frac {1}{x^{p}}}||fx^{p}|\\&=||f{\frac {1}{x^{p}}}||_{L^{2}(0,1)}||x^{p}||_{L^{2}(0,1)}+||{\frac {1}{x^{p}}}||_{L^{2}(1,\infty )}||fx^{p}||_{L^{2}(1,\infty )}\\&\leq A||x^{p}||_{L^{2}(0,1)}+A||fx^{p}||_{L^{2}(1,\infty )}<\infty \end{aligned}}$