UMD 分析资格考试/2008 年 8 月实践

问题 1

假设 $\{f_{n}\}\!\,$ 是定义在 $[0,1]\!\,$ 上的一系列绝对连续函数，使得对于每个 $n\!\,$ 有

f_{n}(0)=0\!\,

以及

$\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}|f_{n}^{\prime }(x)|dx<+\infty \!\,$ $\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}|f_{n}^{\prime }(x)|dx<+\infty \!\,$

对于每个 $x\in [0,1]\!\,$ 。证明

级数 $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\!\,$ 对于每个 $x\in [0,1]\!\,$ 点态收敛到函数 $f\!\,$

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}^{\prime }(x)\quad a.e.\,\,x\in [0,1]\!\,$

解法 1a

绝对连续 <==> 不定积分

$f_{n}(x)\!\,$ 绝对连续当且仅当 $f_{n}(x)\!\,$ 可以写成不定积分的形式，即对所有 $x\in [0,1]\!\,$

${\begin{aligned}f_{n}(x)-\underbrace {f_{n}(0)} _{0}&=\int _{0}^{x}f_{n}^{\prime }(t)dt\\f_{n}(x)&=\int _{0}^{x}f_{n}^{\prime }(t)dt\end{aligned}}$

应用不等式，对 n 求和，并使用假设

设 $x_{0}\in [0,1]\!\,$ 为给定值。那么，

${\begin{aligned}f_{n}(x_{0})&=\int _{0}^{x_{0}}f_{n}^{\prime }(t)dt\\&\leq \int _{0}^{x_{0}}|f_{n}^{\prime }(t)|dt\\&\leq \int _{0}^{1}|f_{n}^{\prime }(t)|dt\end{aligned}}$

因此

$f_{n}(x_{0})\leq \int _{0}^{1}|f_{n}^{\prime }(t)|dt\!\,$

将不等式的两边在 $n\!\,$ 上求和并应用假设，得到级数 $f_{n}\!\,$ 的逐点收敛。

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x_{0})\leq \sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}|f_{n}^{\prime }(t)|dt<+\infty \!\,$

解法 1b

绝对连续 <==> 不定积分

令 $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\!\,$ .

我们要证明

$f(x)=\int _{0}^{x}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}^{\prime }(t)dt\!\,$

重写 f(x) 并应用勒贝格控制收敛定理

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{x}f_{n}^{\prime }(t)dt\quad {\mbox{ (since }}f_{n}{\mbox{ is absolutely continuous)}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\int _{0}^{x}f_{k}^{\prime }(t)dt\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{x}\sum _{k=1}^{n}f_{k}^{\prime }(t)dt\\&=\int _{0}^{x}\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}f_{k}^{\prime }(t)dt\quad {\mbox{ (by LDCT)}}\\&=\int _{0}^{x}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}^{\prime }(t)dt\end{aligned}}$

勒贝格控制收敛定理的证明

${\begin{aligned}|\sum _{k=1}^{n}f_{k}^{\prime }(t)|&\leq \sum _{k=1}^{n}|f_{k}^{\prime }(t)|\\&\leq \underbrace {\sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}^{\prime }(t)|} _{g(t){\mbox{ dominating function}}}\\\\\\\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}^{\prime }(x)|dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}|f_{n}^{\prime }(x)|dx\quad {\mbox{ (by Tonelli Theorem)}}\\&<\infty \quad {\mbox{ (by hypothesis) }}\end{aligned}}$

因此 $g(t)\!\,$ 是可积的

上述不等式也意味着 $\sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}^{\prime }(x)|<\infty \!\,$ 在 $[0,1]\!\,$ 上几乎处处成立。因此，

$|\sum _{k=1}^{n}f_{k}^{\prime }(t)|\rightarrow |\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}^{\prime }(t)|\!\,$

在 $[0,1]\!\,$ 上几乎处处收敛到一个有限值。

解 1c

由于 $f(x)=\int _{0}^{x}\sum _{n=1}^{\infty }f'_{n}(t)dt\!\,$ , 根据微积分基本定理

$f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f'_{n}(x)\!\,$ 几乎处处 (a.e.) $x\in [0,1]\!\,$

问题 3

假设 $\{f_{n}\}\!\,$ 是一个非负可积函数序列，使得 $f_{n}\rightarrow f\!\,$ 几乎处处，其中 $f\!\,$ 可积，且 $\int _{R}f_{n}\rightarrow \int _{R}f\!\,$ 。证明

\int _{R}|f_{n}-f|\rightarrow 0\!\,

解答 3

检查 Lebesgue 控制收敛定理的条件

定义 ${\hat {f}}_{n}=|f-f_{n}|\!\,$ ， $g_{n}=f+f_{n}\!\,$ .

g_n 支配 hat{f}_n

由于 $f_{n}\!\,$ 是正的，那么 $f\!\,$ 也是正的，即 $|f_{n}|=f_{n}\!\,$ 且 $|f|=f\!\,$ 。因此，

$|{\hat {f}}_{n}|=|f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|=f+f_{n}=g_{n}\!\,$

g_n 几乎处处收敛于 g

令 $g=2f\!\,$ 。由于 $f_{n}\rightarrow f\!\,$ ，那么

$f+f_{n}\rightarrow 2f\!\,$ ，即

$g_{n}\rightarrow g\!\,$ .

g_n 的积分收敛于 g 的积分 =

${\begin{aligned}\int g&=\int (f+f)\\&=2\int f\\\\\\\lim _{n\rightarrow \infty }\int g_{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\int (f+f_{n})\\&=\int f+\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}\\&=\int f+\int f{\mbox{ (from hypothesis) }}\\&=2\int f\end{aligned}}$

因此，

\int g=\lim _{n\rightarrow \infty }\int g_{n}\!\,

hat{f_n} 几乎处处收敛于 hat{f}。

注意 $f_{n}\rightarrow f\!\,$ 等价于

|f_{n}-f|\rightarrow 0\!\,

即

{\hat {f_{n}}}\rightarrow 0={\hat {f}}\!\,

应用 LDCT

由于 LDCT 的标准都满足，我们得到

$\lim _{n}\int {\hat {f_{n}}}=\int {\hat {f}}=0\!\,$ ，即

$\lim _{n}\int |f-f_{n}|=0\!\,$

问题 5a

证明如果 $f\!\,$ 在 $[0,1]\!\,$ 上绝对连续，且 $p>1\!\,$ ，那么 $|f|^{p}\!\,$ 在 $[0,1]\!\,$ 上绝对连续。

解 5a

证明 g(x)=|x|^p 是 Lipschitz 连续的

考虑一个区间 $I=[\alpha ,\beta ]\!\,$ ，并令 $x\!\,$ 和 $y\!\,$ 是区间 $I\!\,$ 中的两个点。

另外，令 $K=\|g(x)\|_{\infty }\!\,$ 对所有 $x\in I\!\,$ 成立。

${\begin{aligned}||x|^{p}-|y|^{p}|&=||x|-|y||(|x|^{p-1}+|x|^{p-2}|y|+\ldots +|x||y|^{p-2}+|y|^{p-1})\\&\leq |K^{p-1}+K^{p-2}K+\ldots +KK^{p-2}+K^{p-1}|||x|-|y||\\&=\underbrace {pK^{p-1}} _{M}||x|-|y||\\&\leq M|x-y|\end{aligned}}$

因此， $g(x)\!\,$ 在区间 $I\!\,$ 上是 Lipschitz 连续的。

将定义应用到 g(f(x))

由于 $f(x)\!\,$ 在 $[0,1]\!\,$ 上是绝对连续的，给定 $\epsilon >0\!\,$ ，存在 $\delta >0\!\,$ 使得，如果 $\{(x_{i},x_{i}^{'}\}\!\,$ 是 $[0,1]\!\,$ 上一系列不重叠的有限区间，使得

$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}^{'}-x_{i}|<\delta \!\,$

则

$\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i}^{'})-f(x_{i})|<\epsilon \!\,$

考虑 $g\circ f(x)=|f(x)|^{p}\!\,$ 。由于 $g\!\,$ 是 Lipschitz 的

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}|g(f(x_{i}^{'}))-g(f(x_{i}))|&\leq \sum _{i=1}^{n}M|f(x_{i}^{'})-f(x_{i})|\\&=M\underbrace {\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i}^{'})-f(x_{i})|} _{<\epsilon }\\&<M\epsilon \end{aligned}}$