UMD 分析资格考试/8月12日复变函数

问题 4

假设 $h(z)$ 在包含圆盘 $\{|z|\leq R\}$ 的区域上是解析的，并且当 $|z|=R$ 时，$|h(z)|<R$。方程 $h(z)=z$ 在圆盘 $\{|z|\leq R\}$ 中有多少解？证明你的答案。

解答 4

我们知道 $|h(z)|=|h(z)-z+z|<R$ 当 $|z|=R$。类似地，由于 $|h(z)-z|\geq 0$，则 $|h(z)-z|+|z|\geq R$ 当 $|z|=R$。这得到 $|h(z)-z+z|<R\leq |h(z)-z|+|z|$ 当 $z=R$.

根据罗歇定理，由于两个函数都是全纯函数（即没有极点），则$h(z)-z$ 在域 $|z|<R$ 上的零点数量与$z$ 的零点数量相同。由于$z$ 只有一个零点（即 0），因此$h(z)=z$ 在开圆盘 $|z|<R$ 内只有一个解。

观察到对于任何 $|z|=R$，$h(z)\neq z$，因为这将意味着对于边界上的某个 $z$，$|h(z)|=R$，这与假设矛盾。

因此，$h(z)=z$ 在开圆盘 $|z|\leq R$ 内只有一个解。