马里兰大学分析资格考试/2012年8月真题

问题1

计算以下极限。请说明你的答案。 $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-n}\sin \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx.$

解题1

我们将使用控制收敛定理。首先，注意到对于$x\geq 0$ 和 $n\geq 2$，

$(1+x/n)^{n}=1+x+{\frac {n-1}{2n}}x^{2}+...\geq 1+x+{\frac {n-1}{2n}}x^{2}\geq 1+x+{\frac {1}{4}}x^{2}=(1+x/2)^{2}.$

因此，

${\frac {\sin(x/n)}{(1+x/n)^{n}}}\leq {\frac {1}{(1+x/2)^{2}}}$

并且该函数属于$L_{1}([0,\infty ])$，其中

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x/2)^{2}}}=2$.

因此，根据LDCT（Lebesgue Dominated Convergence Theorem，勒贝格控制收敛定理），

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x/n)}{(1+x/n)^{n}}}=\int _{0}^{\infty }\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sin(x/n)}{(1+x/n)^{n}}}=\int _{0}^{\infty }0=0$

问题 3

假设$f$ 在区间$[a,b]$上是绝对连续的，并且存在一个连续函数$g$ 使得$f'=g$ 几乎处处成立。证明$f$ 在每个$x\in [a,b]$ 处可微，并且$f'(x)=g(x)$ 在$[a,b]$ 上处处成立。

解答 3

如果$f'(x)$ 存在，则根据定义，$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$。因此，我们需要证明这个极限存在并且等于$g(x)$。

然后根据绝对连续性的$f$，$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{x}^{x+h}g(t)\,dt}{h}}$。

由于$g(x)$是连续的，那么对于任意$\epsilon >0$，存在某个$\delta >0$，使得对于$h<\delta$，$|g(x+h)-g(x)|<\epsilon$。

因此，

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{x}^{x+h}g(t)\,dt}{h}}=\lim _{\begin{array}{c}h\to 0\\h<\delta \end{array}}{\frac {\int _{x}^{x+h}g(t)\,dt}{h}}<\lim _{\begin{array}{c}h\to 0\\h<\delta \end{array}}{\frac {\int _{x}^{x+h}g(x)+\epsilon \,dt}{h}}=g(x)+\epsilon$.

同样的论证给出了一个下界，总的来说

$g(x)-\epsilon <\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}<g(x)+\epsilon$。因此，极限存在（即$f$可微），差商趋于$g(x)$。

问题 5

令$f$为$[0,1]$上非负的勒贝格可积函数。用$m$表示$[0,1]$上的勒贝格测度。 (i) 证明，对于每个$\epsilon >0$，存在一个$c>0$，使得 $\int _{\{x\in [0,1]:f(x)\geq c\}}f\,dm<\epsilon .$ (ii) 证明，对于每个$\epsilon >0$，存在一个$\delta >0$，使得对于每个可测子集$E\subseteq [0,1]$ 如果$m(E)<\delta$，则$\int _{E}f\,dm<\epsilon .$

解法 5

(i) 固定大于零的 epsilon。然后，考虑集合 S_n={x ∈ [0,1]：n-1 ≤ f(x) < n}。f 在 S_n 上的积分的偏和构成一个单调递增的实数序列，其上界为 f 在 [0,1] 上的有限积分。

因此，该序列收敛，并且序列的尾部，即 f 在集合 {x ∈ [0,1]：f(x) ≥ n} 上的积分，对于某个 n 必须最终小于 epsilon。

(ii) 固定大于零的 epsilon。根据 (i) 部分，存在某个常数 c，使得给定集合 A={x ∈ [0,1]：f(x) ≥ c}，f 在 A 上的积分小于 epsilon/2。在 A 的补集（在 [0,1] 中），f 上界为 c，因此任何测度小于 epsilon/2c 的集合产生的积分值都小于 epsilon/2。

如果 m(A) 不为零，则将 delta 取为 m(A) 和 epsilon/2c 的最小值。给定 [0,1] 中任何可测集 E，其中 m(E) 小于 delta，则在 A 中的部分和在 A^c 中的部分的积分值都最多为 epsilon/2，因此 f 在 E 上的积分值最多为 epsilon。

如果 m(A)=0，则 f 在 [0,1] 上几乎处处有界，我们只需将 delta 取为 epsilon/c。