假设 f , g {\displaystyle f,g\!\,} 在 { | z | ≤ 1 } {\displaystyle \{|z|\leq 1\}\!\,} 上解析，其中 g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0\!\,} 在 { | z | < 1 } {\displaystyle \{|z|<1\}\!\,} 上。证明对所有 z ∈ { | z | = 1 } {\displaystyle z\in \{|z|=1\}\!\,} ， | f ( z ) | ≤ | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|\leq |g(z)|\!\,} 意味着 | f ( 0 ) | ≤ | g ( 0 ) | {\displaystyle |f(0)|\leq |g(0)|\!\,}
定义 h ( z ) = f ( z ) g ( z ) {\displaystyle h(z)={\frac {f(z)}{g(z)}}\!\,} .
由于 g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0\!\,} 在 D {\displaystyle D\!\,} 上成立，那么根据最大模原理， g {\displaystyle g\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上不等于零。
因此，由于 f {\displaystyle f\!\,} 和 g {\displaystyle g\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上解析且 g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上，那么 h {\displaystyle h\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上解析，这意味着 h {\displaystyle h\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上连续。
这从上面得出
如果 h {\displaystyle h\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上非常数，那么根据最大模原理， | h | {\displaystyle |h|\!\,} 在 D {\displaystyle D\!\,} 的边界上达到其最大值。
但由于 | h ( z ) | ≤ 1 {\displaystyle |h(z)|\leq 1\!\,} 在 ∂ D {\displaystyle \partial D\!\,} 上（根据假设），则
| h ( z ) | ≤ 1 {\displaystyle |h(z)|\leq 1\!\,} 在 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}\!\,} 上。
特别地， | h ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle |h(0)|\leq 1\!\,} ，或者等价地
| f ( 0 ) | ≤ | g ( 0 ) | {\displaystyle |f(0)|\leq |g(0)|\!\,}
假设 h ( z ) {\displaystyle h(z)\!\,} 为常数。则
| h ( z ) | = | f ( z ) g ( z ) | = | α | {\displaystyle |h(z)|=\left|{\frac {f(z)}{g(z)}}\right|=|\alpha |\!\,} ，其中 α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \!\,}
然后从假设中我们得到，对所有 z ∈ { | z | = 1 } {\displaystyle z\in \{|z|=1\}\!\,} ，
| f ( z ) | = | α | | g ( z ) | ≤ | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|=|\alpha ||g(z)|\leq |g(z)|\ \!\,}
这意味着
| α | ≤ 1 {\displaystyle |\alpha |\leq 1\!\,}
因此，根据最大模原理，对所有 z ∈ D {\displaystyle z\in D\!\,}
| f ( z ) g ( z ) | = | α | ≤ 1 {\displaystyle \left|{\frac {f(z)}{g(z)}}\right|=|\alpha |\leq 1\!\,}
即
| f ( z ) | ≤ | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|\leq |g(z)|\!\,}
由于 0 ∈ D {\displaystyle 0\in D\!\,} ，我们也有
.
在 
上成立，那么根据最大模原理，
在 
上不等于零。
和 在 上解析且 在 上，那么 
在 上解析，这意味着 在 上连续。 在 上非常数，那么根据最大模原理，
在 的边界上达到其最大值。
在 
上（根据假设），则 在 上。
，或者等价地
为常数。则
，其中 
，
，我们也有
