UMD 分析资格考试/Jan10 复数

问题 2

函数 $\sec \pi z$ 有一个收敛的泰勒展开式 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z+i)^{n}$。求 $\lim \sup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$.

解决方案

$\sec \pi z={\frac {1}{\cos \pi z}}$。利用定义 $\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$，我们得到 $\cos(z)=0$ 当且仅当 $e^{-y}e^{ix}=-e^{y}e^{-ix}$。不难证明这当且仅当 $y=0$ 且 $x={\frac {(2n+1)\pi }{2}}$。因此，$\cos \pi z$ 的所有零点都出现在实轴上，距离 1/2 为整数倍。因此，$\sec \pi z$ 在除这些点之外的所有地方都是解析的。

我们的泰勒级数 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z+i)^{n}$ 以 $z=-i$ 为中心。根据简单的几何学，从 $z=-i$ 到 $z=1/2$ 或 $z=-1/2$（$\sec \pi z$ 最近的极点）的最短距离为 $R={\sqrt {1/2^{2}+1^{2}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}$。这是泰勒级数的收敛半径。

从微积分（根检验）我们知道 $\lim \sup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}=1/R$。因此，$\lim \sup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}={\frac {2}{\sqrt {5}}}$。