为函数 u {\displaystyle u} 写出一个显式公式，该函数求解初始值问题
{ u t + b ⋅ D u + c u = 0 in R n × ( 0 , ∞ ) u = g on R n × { t = 0 } . {\displaystyle \left\{{\begin{array}{r l}u_{t}+b\cdot Du+cu=0&{\text{ in }}\mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u=g&{\text{ on }}\mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}.\end{array}}\right.}
其中 c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } 和 b ∈ R n {\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}} 是常数。
考虑特征 ( x ( s ) , t ( s ) ) = ( x 0 + b s , s ) ∈ R n {\displaystyle (x(s),t(s))=(x_{0}+bs,s)\in \mathbb {R} ^{n}} 。同样，对于任意 x ∈ R n , t ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} } ，考虑 z ( s ) = u ( x + s b , t + s ) {\displaystyle z(s)=u(x+sb,t+s)} 。然后求导得到
z ˙ ( s ) = D u ( x + s b , t + s ) ⋅ b + u t ( x + s b , t + s ) = − c z ( s ) {\displaystyle {\dot {z}}(s)=Du(x+sb,t+s)\cdot b+u_{t}(x+sb,t+s)=-cz(s)}
其中最后一个不等式是原始 PDE 的结果。上面的 ODE 可以解出，得到 z ( s ) = z ( 0 ) e − c s {\displaystyle z(s)=z(0)e^{-cs}}
最后，任何点 ( x , t ) {\displaystyle (x,t)} 与特征曲线 ( x 0 , 0 ) {\displaystyle (x_{0},0)} 相连，其中 x 0 = x − t b {\displaystyle x_{0}=x-tb} ，因此
u ( x , t ) = g ( x − t b ) e − c t {\displaystyle u(x,t)=g(x-tb)e^{-ct}} .
写出一个显式公式，该函数求解初始值问题
和 
是常数。
。同样，对于任意
，考虑
。然后求导得到
与特征曲线
相连，其中
，因此
.
