双调和方程的弱解，
{ Δ 2 u = f , x ∈ U u = ∂ u ∂ ν = 0 , x ∈ ∂ U {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\Delta ^{2}u=f,&x\in U\\u={\frac {\partial u}{\partial \nu }}=0,&x\in \partial U\end{aligned}}\right.}
是一个函数 u ∈ H 0 1 ( U ) {\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)} 这样 ∫ U Δ u Δ v d x = ∫ U f v d x {\displaystyle \int _{U}\Delta u\Delta v\,dx=\int _{U}fv\,dx} 对于所有 v ∈ H 0 1 ( U ) {\displaystyle v\in H_{0}^{1}(U)} .
假设 U {\displaystyle U} 是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的有界子集，边界光滑，并利用问题的弱公式证明存在唯一的弱解。
考虑泛函 B [ u , v ] = ∫ U Δ u Δ v = ∫ U f v {\displaystyle B[u,v]=\int _{U}\Delta u\Delta v=\int _{U}fv} . B {\displaystyle B} 是拉普拉斯算子的线性性，所以它是双线性的。现在，我们声称 B {\displaystyle B} 也是连续的和强制的。
| B [ u , v ] | = | ∫ U Δ u Δ v | ≤ ‖ Δ u ‖ L 2 ( U ) ‖ Δ v ‖ L 2 ( U ) ≤ ‖ Δ u ‖ H 0 1 ( U ) ‖ Δ v ‖ H 0 1 ( U ) {\displaystyle |B[u,v]|=\left|\int _{U}\Delta u\Delta v\right|\leq \|\Delta u\|_{L^{2}(U)}\|\Delta v\|_{L^{2}(U)}\leq \|\Delta u\|_{H_{0}^{1}(U)}\|\Delta v\|_{H_{0}^{1}(U)}} 其中第一个不等式由Holder不等式得到，第二个不等式由Sobolev范数的定义得到。因此， B [ u , v ] {\displaystyle B[u,v]} 是一个连续泛函。
为了证明强制性，我们利用两次分部积分得到， ∫ U u i j u i j = − ∫ U u i u i j j = ∫ U u i i u j j {\displaystyle \int _{U}u_{ij}u_{ij}=-\int _{U}u_{i}u_{ijj}=\int _{U}u_{ii}u_{jj}} ，得出
‖ u ‖ H 0 1 ( U ) 2 = ∫ U u 2 + ∑ j = 1 n ( | ∂ ∂ j u | 2 ) + ∑ i , j = 1 n ( | ∂ 2 ∂ i ∂ j u | 2 ) d x = ∫ U u 2 + | ∇ u | 2 + ∑ i , j = 1 ∞ ( | u i i u j j | 2 ) d x ≤ ∫ U 0 + 0 + | Δ u | 2 ≤ B [ u , u ] {\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{H_{0}^{1}(U)}^{2}=&\int _{U}u^{2}+\sum _{j=1}^{n}\left(|{\frac {\partial }{\partial j}}u|^{2}\right)+\sum _{i,j=1}^{n}\left(|{\frac {\partial ^{2}}{\partial i\partial j}}u|^{2}\right)\,dx\\=&\int _{U}u^{2}+|\nabla u|^{2}+\sum _{i,j=1}^{\infty }\left(|u_{ii}u_{jj}|^{2}\right)\,dx\\\leq &\int _{U}0+0+|\Delta u|^{2}\leq B[u,u]\end{aligned}}}
从而证明了强制性。
因此，根据 Lax-Milgram定理，弱解存在且唯一。
这个问题有一个印刷错误，无法通过特征线方法解决。
这样 
对于所有 
.
是 
的有界子集，边界光滑，并利用问题的弱公式证明存在唯一的弱解。![{\displaystyle B[u,v]=\int _{U}\Delta u\Delta v=\int _{U}fv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5730c06bc92544f83ed534ff7e60c0b1007e4805)
. 
是拉普拉斯算子的线性性，所以它是双线性的。现在，我们声称 也是连续的和强制的。![{\displaystyle |B[u,v]|=\left|\int _{U}\Delta u\Delta v\right|\leq \|\Delta u\|_{L^{2}(U)}\|\Delta v\|_{L^{2}(U)}\leq \|\Delta u\|_{H_{0}^{1}(U)}\|\Delta v\|_{H_{0}^{1}(U)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511201635392a6e892d2cd122aedade250ee2074)
其中第一个不等式由Holder不等式得到，第二个不等式由Sobolev范数的定义得到。因此，![{\displaystyle B[u,v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da5c3277bbad2336603a3d7312d57b7265616d2)
是一个连续泛函。
，得出![{\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{H_{0}^{1}(U)}^{2}=&\int _{U}u^{2}+\sum _{j=1}^{n}\left(|{\frac {\partial }{\partial j}}u|^{2}\right)+\sum _{i,j=1}^{n}\left(|{\frac {\partial ^{2}}{\partial i\partial j}}u|^{2}\right)\,dx\\=&\int _{U}u^{2}+|\nabla u|^{2}+\sum _{i,j=1}^{\infty }\left(|u_{ii}u_{jj}|^{2}\right)\,dx\\\leq &\int _{U}0+0+|\Delta u|^{2}\leq B[u,u]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560c0cf995958f8f692e2a95ea1686661e07f15c)
