UMD PDE 预备考试/2007 年 1 月 PDE

问题 1

a) 证明函数 $G(x)=1/2e^{-|x|}$ 是方程在分布意义上的解 $-G''+G=\delta (x);\quad -\infty <x<\infty$. b) 使用 (a) 部分写出以下方程的解 $-u''+u=f(x);\quad -\infty <x<\infty$

解决方案

(a)

我们要证明 $\int _{\mathbb {R} }G(-\varphi ''+\varphi )\,dx=\varphi (0)$ 对于每个测试函数 $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$.

我们可以计算 $G(x)=G''(x)$ 和 $G'(x)=1/2(sgn(-x))e^{-|x|}$. 因此，在 0 以外，我们有 $-G''+G=0$，也就是说，$-G''+G=0$ 几乎处处成立，并且 $\int -G''+G=0$.

我们现在通过分部积分来计算

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{0}(-G''+G)\varphi =&\int _{-\infty }^{0}G'\varphi '+G\varphi \,dx-\left.\varphi G\right|_{-\infty }^{0}\\=&\int _{-\infty }^{0}G'\varphi '+G\varphi \,dx-\varphi (0)\lim _{x\to 0^{-}}G(x)\\=&\int _{-\infty }^{0}G(-\varphi ''+\varphi )\,dx-1/2\varphi (0)+\left.\varphi 'G\right|_{-\infty }^{0}\\=&\int _{-\infty }^{0}G(-\varphi ''+\varphi )\,dx-1/2\varphi (0)+1/2\varphi '(0).\\\end{aligned}}$

类似的计算给出

$\int _{0}^{\infty }(-G''+G)\varphi =\int _{0}^{\infty }G(-\varphi ''+\varphi )\,dx-1/2\varphi (0)-1/2\varphi '(0).$

因此我们已经证明了对于所有 $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$

$0=\int \varphi (-G''+G)=\int G(-\varphi ''+\varphi )\,dx-\varphi (0)$ 这就得到了我们想要的结果。

(b)

我们猜测 $u=G\ast f$。然后由(a)部分，

$-u''(x)+u(x)=\int _{\mathbb {R} }[-G''(x-y)+G(x-y)]f(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} }\delta (x-y)f(y)\,dy=f(x)$.

问题 6

设 $B$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的单位球。考虑特征值问题： $\left\{{\begin{array}{r l}-\Delta u=\lambda u,&x\in B\\\partial _{\nu }u+u=0,&x\in \partial B,\end{array}}\right.$ 其中 $\partial _{\nu }$ 表示边界 $\partial B$ 上的法向导数。证明所有特征值都是正的，并且对应于不同特征值的特征函数彼此正交。

解决方案

将 PDE 乘以 $u$ 并积分

$\lambda \int _{B}u^{2}=-\int _{B}u\Delta u=\int _{B}|Du|^{2}-\int _{\partial B}u\partial _{\nu }u=\int _{B}|Du|^{2}+\int _{\partial B}u^{2}\geq 0$.

当然我们知道 $\lambda =0$ 是 $-\Delta$ 的一个特征值，对应于一个常数特征函数。但一个常数函数有 $\partial _{v}u\equiv 0$，这意味着 $u\equiv 0$ 由边界条件得到。因此 $\lambda =0$ 不再是特征值。这迫使 $\lambda >0$.

为了看到特征函数的正交性，设 $\varphi _{n},\varphi _{m}$ 是对应于不同的特征值 $\lambda _{n},\lambda _{m}$ 的两个特征函数，分别。然后通过分部积分，

$\int _{B}-\varphi _{n}\Delta \varphi _{m}+\varphi _{m}\Delta \varphi _{n}=\int _{B}D\varphi _{n}D\varphi _{m}-D\varphi _{n}D\varphi _{m}\,dx+\int _{\partial B}-\varphi _{n}\partial _{\nu }\varphi _{m}+\partial _{\nu }\varphi _{n}\varphi _{m}\,dS=0$

因此，根据偏微分方程，

$0=\int _{B}-\varphi _{n}\Delta \varphi _{m}+\varphi _{m}\Delta \varphi _{n}=\int _{B}(\lambda _{n}-\lambda _{m})\varphi _{n}\varphi _{m}$.

由于$\lambda _{n}-\lambda _{m}\neq 0$，这意味着$\{\varphi _{n}\}$ 在 $L^{2}(B)$ 中是成对正交的。