UMD PDE 资格考试/2010 年 1 月 PDE

问题 1

令 $U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|>1\}$。假设 $u\in C^{2}(U)\cap C({\bar {U}})$ 是以下狄利克雷问题的有界解： $\Delta u=0$ 在 $U$ 中，且 $u=f$ 在 $\Gamma =\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|=1\}$ 上，其中 $f(x)\in C(\Gamma )$。 (a) 考虑 $n=2$。证明上述问题最多有一个解。提示：首先，您可能希望在 $U$ 中考虑使用 $u\pm \epsilon \log |x|$ 的适当最大值原理。 (b) 现在考虑 $n=3$。证明上述问题可能有多个有界解。您应该添加什么条件才能使解 $u$ 在这种情况下是唯一的？

解决方案

解决方案 1a

我们不能使用调和函数的普通最大值原理，因为我们的域 $U$ 是无界的。我们希望使用我们对该域的最大值原理的预期，但这需要证明。

引理：对于域 $U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|>1\}$，如果 $\Delta u=0$，那么 $\max _{\bar {U}}u=\max _{\Gamma }u$。 引理证明：考虑域 $U_{r}=\{1<|x|<r\}$ 和函数 $u_{\epsilon }=u-\epsilon \log |x|$。由于 $\log |x|$ 是拉普拉斯方程的基本解，因此显然 $u_{\epsilon }$ 是调和的，并且可以很容易地验证 $u_{\epsilon }=f$ 在 $\Gamma$ 上。 然后，由于域 $U_{r}$ 是有界的，我们可以使用普通的极值原理并说 $\max _{\bar {U_{r}}}u_{\epsilon }=\max _{\Gamma }u_{\epsilon }\vee \max _{\partial B(0,r)}u_{\epsilon }$. 我们知道 $\max _{\Gamma }u_{\epsilon }=\|f\|_{L^{\infty }(\Gamma )}$。现在如果 $r$ 足够大，那么我们可以保证 $\max _{\partial B(0,r)}u_{\epsilon }<\|f\|_{L^{\infty }(\Gamma )}$。当 $r\to \infty$ 时，我们得到 $\sup _{\bar {U}}u_{\epsilon }\leq \max _{\Gamma }u_{\epsilon }$。现在令 $\epsilon \to 0$，我们得到 $\max _{\bar {U}}u\leq \max _{\Gamma }u$，这证明了引理。

如果我们用 $u+\epsilon \log |x|$ 代替 $u-\epsilon \log |x|$，那么用同样的方法我们可以证明我们的域 $U$ 的最小值原理。

现在假设$u_{1},u_{2}$ 是狄利克雷问题的两个有界解。令$w=u_{1}-u_{2}$。那么$w$ 在$U$ 中解$\Delta w=0$，并且在$\Gamma$ 上$w=0$。然后根据我们的最大值原理引理，$\sup _{\bar {U}}w\leq \max _{\Gamma }w=0$。类似地，根据最小值原理，$\inf _{\bar {U}}u\geq \min _{\Gamma }w=0$。这意味着$w\equiv 0$，即$u_{1}\equiv u_{2}$，这证明了该狄利克雷问题的有界解是唯一的。

解 1b

现在当 $n=3$ 时，我们可以对 $U$ 上的狄利克雷问题得到多个有界解。假设 $u$ 是其中一个有界的 $C^{2}$ 解。回忆一下 $1/|x|$ 是三维空间中拉普拉斯方程的基本解。因此，$v=(u-1)+1/|x|$ 也是调和的，并且可以验证 $v=f$ 在 $\Gamma$ 上。也很容易验证 $v$ 在 $U$ 上也是有界的。因此，$u,v$ 是两个不同的有界解。因此，解不是唯一的。

我们怎样才能得到唯一解呢？回忆一下，$w$ 在 $U$ 中解 $\Delta w=0$，并在 $\Gamma$ 上满足 $w=0$。分部积分表明

${\begin{aligned}0=\int _{U}w\Delta w&=-\int _{U}|Dw|^{2}+\int _{\gamma }w{\frac {\partial w}{\partial \nu }}\,dS+\lim _{r\to \infty }\int _{\partial B(0,r)}w{\frac {\partial w}{\partial \nu }}\,dS\\&=-\int _{U}|Dw|^{2}+0+\lim _{r\to \infty }\int _{\partial B(0,r)}w{\frac {\partial w}{\partial \nu }}\,dS\end{aligned}}$

因此，如果我们假设 $\lim _{|x|\to \infty }w(x)=0$，那么我们将有 $\int _{U}|Dw|^{2}=0$，这意味着 $w$ 是常数。但边界条件告诉我们 $w\equiv 0$。换句话说，那么该解将是唯一的。