马里兰大学偏微分方程资格考试/2011年1月偏微分方程

问题 1

考虑守恒定律 $u_{t}+f(u)_{x}=0,\quad {\text{ in }}\mathbb {R} \times (0,\infty ),$ 其中 $f\in C^{1}(\mathbb {R} )$. (a) 定义偏微分方程的积分解 (b) 推导分段光滑积分解 $u$ 在 $C^{1}$ 曲线上的跃迁（Rankine-Hugoniot）条件，其中 $u$ 不连续。 (c) 当 $f(u)=u^{2}+u$ 且 $u(x,0)=1$ 如果 $x<0,$ $u(x,0)=-3$ 如果 $x>0$，找到偏微分方程的积分解。