UMD 概率资格考试/2008 年 8 月 概率

问题 1

令 $(\xi _{1},\xi _{2})$ 是一个具有零均值和协方差矩阵 $D$ 的高斯向量，其条目为 $D_{11}=D_{22}=1,D_{12}=D_{21}=1/2$。求 $E(\xi _{1}^{2}\xi _{2}|2\xi _{1}-\xi _{2})$

问题 2

令 $X_{n},n\geq 0$ 为状态空间 $\mathrm {X} =\{1,2\}$ 上的马尔可夫链，其转移矩阵为 $P$，其元素为 $P_{11}=1/3,P_{12}=2/3,P_{21}=P_{22}=1/2$。令 $f:\mathrm {X} \to \mathbb {R}$ 为一个函数，其中 $f(1)=1$ 且 $f(2)=4$。求一个函数 $g:\mathrm {X} \to \mathbb {R}$ 使得 $Y_{n}=f(X_{n})-f(X_{0})-\sum _{i=0}^{n-1}g(X_{i}),n\geq 1,$ 是相对于由过程 $X_{n}$ 生成的滤波 ${\mathcal {F}}_{n}^{X}$ 的鞅。

解决方案

注意到，由于 $f,g$ 是可测函数，那么 $Y_{n}$ 由 ${\mathcal {F}}_{n}$ 可测函数的线性组合构成，因此 $Y_{n}$ 是 ${\mathcal {F}}_{n}$ 适应的。此外，对于任何 $n$，$Y_{n}$ 在任何地方都是有限的，因此是 $L^{1}$。

因此，我们只需要检查条件鞅性质，即我们要证明 $Y_{n}=E(Y_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n}$.

也就是说，我们想要

${\begin{aligned}f(X_{n})-f(X_{0})-\sum _{i=1}^{n-1}g(X_{i})&=E[f(X_{n+1})-f(X_{0})-\sum _{i=1}^{n}g(X_{i})|{\mathcal {F}}_{n}]\\f(X_{n})&=E[f(X_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n}]-g(X_{n})\end{aligned}}$

因此，如果 $Y_{n}$ 要成为鞅，我们必须有

$g(X_{n})=E[f(X_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n}]-f(X_{n})$.

由于 $\mathrm {X} =\{1,2\}$，我们可以很容易地计算出右侧。

$g(1)=E[f(X_{n+1})|X_{n}=1]-f(1)=(1\cdot 1/3+4\cdot 2/3)-1=2$

$g(2)=E[f(X_{n+1})|X_{n}=2]-f(2)=(1\cdot 1/2+4\cdot 1/2)=-{\frac {3}{2}}$

这明确地定义了函数 $g$ 并验证了 $Y_{n}$ 是一个鞅。

问题 3

令 $\xi _{n}$ 为独立同分布的随机变量，其在 [0,1] 上服从均匀分布。对于 $\alpha >0$ 的哪些值，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(\xi _{n}+n^{-\alpha })^{(n^{\alpha +1})}$ 几乎处处收敛？