UMD 概率资格考试/2009 年 8 月概率

问题 1

设 $X_{1},...,X_{n}$ 是独立同分布随机变量，其矩生成函数为 $M(t)=E[\exp(tX_{1})]$ ，它对所有 $t$ 都是有限的。设 ${\tilde {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$ .

(a) 证明

$P[X_{1}>a]\leq exp[-h(a)]$ 其中

$h(a)=\sup _{t\geq 0}[at-\psi (t)]$ 且 $\psi (t)=\log M(t)$

(b) 证明

$P[{\tilde {X}}_{n}\geq a]\leq \exp[-nh(a)]$ .

(c) 假设 $E[X_{1}]=0$ 。利用 (b) 的结果来证明 ${\tilde {X}}_{n}\to 0$ 几乎必然。

解决方案

(a) ${\begin{aligned}P[X_{1}>a]=&\int _{X_{1}>a}1\,dF=\int _{X_{1}>a}{\frac {\exp(ta)}{\exp(ta)}}\,dF\\=&e^{-at}\int _{X_{1}>a}e^{at}\,dF\leq e^{-at}\int _{X_{1}>a}e^{X_{1}t}\,dF\\\leq &e^{-at}\int _{\Omega }e^{X_{1}t}\,dF=e^{-at}E[\exp(tX_{1})]\end{aligned}}$

到目前为止，我们还没有对 $t$ 施加任何条件。因此，上述不等式对所有 $t$ 成立，因此也对上确界成立，这给了我们想要的结果。

(b) ${\begin{aligned}P[{\tilde {X}}_{n}>a]=&\int _{{\tilde {X}}_{n}>a}1\,dF=\int _{{\tilde {X}}_{n}>a}{\frac {\exp(nta)}{\exp(nta)}}\,dF\\=&e^{-nat}\int _{\sum _{i=1}^{n}X_{i}>an}e^{nat}\,dF\leq e^{-nat}\int _{\sum _{i=1}^{n}X_{i}>an}e^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}t}\,dF\\\leq &e^{-nat}\int _{\Omega }e^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}t}\,dF=e^{-nat}(\int _{\Omega }e^{X_{i}t}\,dF)^{n}\end{aligned}}$ 其中最后一个等式来自于 $X_{i}$ 是独立同分布的。

(c)

问题 2

设 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 为一个概率空间；设 $X$ 为一个具有有限二阶矩的随机变量，设 ${\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G_{2}}}$ 为子 $\sigma$ -域。证明：

$E[(X-E(X|{\mathcal {G}}_{2}))^{2}]\leq E[(X-E(X|{\mathcal {G}}_{1}))^{2}].$

解决方案

问题 3

设 $N_{1}(t),N_{2}(t)$ 为独立的速率分别为 $\lambda _{1},\lambda _{2}$ 的齐次泊松过程。设 $Z$ 为过程 $N_{1}(t)+N_{2}(t)$ 第一次跳跃的时间，设 $J$ 为产生第一次跳跃的成分过程的随机索引。求 $(J,Z)$ 的联合分布。特别地，证明 $J,Z$ 是独立的，并且 $Z$ 服从指数分布。

解决方案

证明 $Z$ 服从指数分布

令 $\tau$ 是泊松过程 $N(t)$ 第一次跳跃的时间。

${\begin{aligned}p_{\tau }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F_{\tau }(x)-F_{\tau }(x-\epsilon )}{\epsilon }}&=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {P(N(x)>0\cap N(x-\epsilon )=0)}{\epsilon }}\\=&\lim _{\epsilon \to 0}1/\epsilon \,P(N(x-\epsilon )=0)\cdot P(N(x)-N(x-\epsilon )>0)\\=&\lim _{\epsilon \to 0}1/\epsilon \,e^{-\lambda (x-\epsilon )}\cdot {\frac {\lambda \epsilon }{1}}e^{-\lambda \epsilon }=\lambda e^{-\lambda x}\end{aligned}}$

$N_{1}(t)+N_{2}(t)$ 是参数为 $\lambda _{1}+\lambda _{2}$ 的泊松过程。

证明：需要检查三个条件

(i) $N_{1}(0)+N_{2}(0)=0$ 几乎处处成立

(ii) 对于 $t>s$ ， $(N_{1}(t)+N_{2}(t)-N_{1}(s)-N_{2}(s)$ 与 $N_{1}(s)+N_{2}(s)$ 独立吗？这是成立的，因为 $N_{1},N_{2}$ 都是泊松过程，并且彼此独立。

(iii) 对于 $t>s$ ， $(N_{1}(t)+N_{2}(t)-N_{1}(s)-N_{2}(s)$ 服从参数为 $t-s$ 的泊松分布吗？这是正确的，因为独立泊松过程的和也是泊松过程。(见第二点)

(J,Z) 的联合分布

$P(J=1,Z=x)=\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x}$

$P(J=2,Z=x)=\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}x}$

问题 4

设 $(X_{n},{\mathcal {F}}_{n})$ 是一个鞅序列，对于每个 $n$ ，设 $\epsilon _{n}$ 是一个 ${\mathcal {F}}_{n-1}$ -可测随机变量。定义

$Y_{n}=\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}(X_{i}-X_{i-1}),\quad Y_{0}=0$

假设 $Y_{n}$ 对每个 $n$ 都是可积的，证明 $Y_{n}$ 是一个鞅。

解决方案

问题 5

令 $X_{1},...,X_{n}$ 为一个独立同分布的序列，其中 $E[X_{i}]=0$ 且 $V[X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty$ 。证明对于任意 $\gamma >1/2$ ，级数 $\sum _{k=1}^{\infty }X_{k}/k^{\gamma }$ 几乎处处收敛。

解决方案

定义 $Z_{k}:=X_{k}/k^{\gamma }$ 。则 $E[Z_{k}]=0$ 且 $V[Z_{k}]={\frac {\sigma ^{2}}{k^{2\gamma }}}$ 。我们检查柯尔莫哥洛夫三级数定理的三个组成部分，得出结论 $\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}$ 几乎处处收敛。