UMD 概率资格考试/2010 年 1 月概率

问题 1

令 $\{X_{nk}\},k=1,...,r_{n},n=1,2,...$ 为具有 $p_{nk}=P[X_{nk}=1]$ 的伯努利随机变量的三角阵列。假设

$\sum _{k=1}^{r_{n}}p_{nk}\to \lambda \,{\text{ and }}\,\max _{k\leq r_{n}}p_{nk}\to 0.$

求 $\sum _{k=1}^{r_{n}}X_{nk}$ 的极限分布。

解决方案

我们将证明它收敛于参数为 $\lambda$ 的泊松分布。泊松分布的特征函数为 $e^{\lambda (e^{it}-1)}$ 。我们证明特征函数 $E[\exp(it\sum _{k=1}^{r_{n}}X_{nk})]$ 收敛于 $e^{\lambda (e^{it}-1)}$ ，这意味着结果成立。

$\log E[\exp(it\sum _{k=1}^{r_{n}}X_{nk})]=\sum _{k=1}^{r_{n}}\log((1-p_{nk})+p_{nk}e^{it})=\sum _{k=1}^{r_{n}}\log(1-p_{nk}(1-e^{it}))=\sum _{k=1}^{r_{n}}(-p_{nk}(1-e^{it})+O(p_{nk}^{2}))$ . 根据我们的假设，这收敛于 $\lambda (e^{it}-1)$ .

问题 2

令 $X_{1},X_{2},...$ 是一个独立同分布随机变量序列，在 $[0,1]$ 上服从均匀分布。证明

$\lim _{n\to \infty }(X_{1}X_{2}\cdots X_{n})^{1/n}$

以概率 1 存在，并计算其值。

解决方案

令 $Y_{n}=(X_{1}X_{2}\cdots X_{n})^{1/n}$ .

$\log(Y_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\log(X_{j})$ .

随机变量 $\log(X_{j})$ 是独立同分布的，并且具有有限的均值，

$E[\log(X_{j})]=\int _{0}^{1}\log(t)dt=-1$ .

因此，大数定律意味着 ${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\log(X_{j})$ 以概率 1 收敛到 $-1$ .

所以几乎可以确定， $\log(Y_{n})$ 收敛到 $-1$ 且 $Y_{n}$ 收敛到 $e^{-1}$ .

问题 3

令 $\{X_{n}|n=0,1,2,...\}$ 是关于嵌套的 $\sigma$ -域序列 $\{{\mathcal {F}}_{n}\}$ 的平方可积鞅。假设 $E[X_{n}]=0$ 。证明

$P[\max _{1\leq k\leq n}|X_{k}|>\epsilon ]\leq E[X_{n}^{2}]/\epsilon ^{2}$ .

解决方案

由于 $X_{n}$ 是一个鞅， $|X_{n}|$ 是一个非负的次鞅，并且 $E[|X_{n}|^{2}]<\infty$ ，因为 $X_{n}$ 是平方可积的。因此， $|X_{n}|$ 满足杜布鞅不等式的条件，因此结果成立。

问题 4

随机变量 $X$ 在概率空间 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 上定义。设 ${\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$ ，并假设 $X$ 的方差有限。证明

$E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{2}])^{2}]\leq E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{1}])^{2}].$

换句话说， $X$ 相对于其条件均值的离散度随着 $\sigma$ -域的增长而变小。

解决方案

$E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{1}])^{2}]=E[((X-E[X|{\mathcal {G}}_{2}])+(E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[X|{\mathcal {G}}_{1}]))^{2}]$ $=E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{2}])^{2}]+E[(E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[X|{\mathcal {G}}_{1}])^{2}]+2E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{2}])(E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[X|{\mathcal {G}}_{1}])]$

我们将证明第三项为零。然后，由于第二项非负，因此结果成立。

$E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{2}])(E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[X|{\mathcal {G}}_{1}])]=E[E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{2}])(E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[X|{\mathcal {G}}_{1}])|{\mathcal {G}}_{2}]]$ 由全概率定律得出。

$E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{2}])(E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[X|{\mathcal {G}}_{1}])|{\mathcal {G}}_{2}]=(E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[X|{\mathcal {G}}_{1}])E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{2}])|{\mathcal {G}}_{2}]$ , 因为 $(E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[X|{\mathcal {G}}_{1}])$ 是 ${\mathcal {G}}_{2}$ -可测的。

最后， $E[(X-E[X|{\mathcal {G}}_{2}])|{\mathcal {G}}_{2}]=E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[E[X|{\mathcal {G}}_{2}]|{\mathcal {G}}_{2}]=E[X|{\mathcal {G}}_{2}]-E[X|{\mathcal {G}}_{2}]=0$

问题 5

考虑一个随机变量序列 $X_{1},X_{2},\ldots$ ，使得 $X_{n}=1{\text{ or }}0$ 。假设 $P[X_{1}=1]\geq \alpha$ 并且

$P[X_{n}=1|X_{1},\ldots ,X_{n-1}]\geq \alpha >0{\text{ for n=2,3,}}\ldots$

证明

(a.) $P[X_{n}=1{\text{ for some n}}]=1.$

(b). $P[X_{n}=1{\text{ infinitely often}}]=1.$

解决方案

我们证明 $P[X_{n}=1{\text{ finitely often}}]=0.$ . 如果 $X_{n}=1$ 仅对有限个 $n$ 成立，那么存在一个最大的索引 $T$ 使得 $X_{T}=1$ . 我们证明相反地，对于所有 $T$ ， $P[X_{n}=0{\text{ for all }}n\geq T]=0$ .

首先注意到， $P[X_{1}=0]\leq (1-\alpha )$ 以及 $P[X_{T}=0]=E[P[X_{T}=0|X_{1},X_{2},\ldots ,X_{T-1}]]\leq (1-\alpha ){\text{ for T}}>1$ .

设 $A_{n}^{(T)}$ 为事件 $[X_{T+n-1}=\ldots =X_{T}=0]$ ，则 $P[X_{n}=0{\text{ for all }}n\geq T]=P[A_{n}^{(T)}{\text{ occurs for all n}}]$ .

注意到 $P[A_{n}^{(T)}]=P[X_{T+n-1}=0|A_{n-1}^{(T)}]P[A_{n-1}^{(T)}]\leq (1-\alpha )P[A_{n-1}^{(T)}]{\text{ for n =2,3,}}\ldots$ 且 $P[A_{1}^{(T)}]=P[X_{T}=0]\leq (1-\alpha )$ 。因此 $P[A_{n}^{(T)}]\leq (1-\alpha )^{n}$ 且 $\lim _{n\rightarrow \infty }P[A_{n}^{(T)}]=0$ 。因此， $P[X_{n}=0{\text{ for all n}}\geq T]=0$ ，我们得到了想要的结论。