单位根/附录

第 2 章规则 1

给定 $f(x)=p(x)\cdot q(x)$。令

$f(x)=f_{0}x^{m}+f_{1}x^{m-1}+\cdots +f_{m-1}x+f_{m}$,

$p(x)=p_{0}x^{n}+f_{1}x^{n-1}+\cdots +f_{m-1}x+f_{m}$,

$q(x)=q_{0}x^{m-n}+f_{1}x^{m-n-1}+\cdots +f_{m-n-1}x+f_{m-n}$,

(最高次系数 $f_{0}$，$p_{0}$ 和 $q_{0}$ 不为零）。通过比较 $f(x)=p(x)\cdot q(x)$ 两边展开式的同类项系数，我们得到

$f_{0}=p_{0}q_{0}$,

$f_{1}=p_{0}q_{1}+p_{1}q_{0}$,

$f_{2}=p_{0}q_{2}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{0}$,

$\ldots$.

$f_{m-n}=p_{0}q_{m-n}+p_{1}q_{m-n+1}+\cdots +p_{m-n}q_{0}$,

所以，

$q_{0}=f_{0}\div p_{0}$,

$q_{1}=(f_{1}-p_{1}q_{0})\div p_{0}$,

$q_{2}=(f_{2}-p_{1}q_{1}-p_{2}q_{0})\div p_{0}$,

$\ldots$.

$q_{m-n}=(f_{m-n}-p_{1}q_{m-n+1}-\cdots -p_{m-n}q_{0})\div p_{0}$.

所有 $q(x)$ 的系数都可以通过四则运算计算，并且所有除法运算都是除以同一个非零数 $p_{0}$。现在，所有复数的运算结果都是复数，所有实数的运算结果都是实数，所有有理数的运算结果都是有理数。因此，我们可以得出结论，如果 $f(x)$ 和 $p(x)$ 有复数、实数或有理数系数，那么 $q(x)$ 必须有复数、实数或有理数系数。另一方面，如果 $f(x)$ 和 $p(x)$ 有整数系数，并且 $p_{0}=1$，那么 $q(x)$ 也必须有整数系数。