泛代数/二元关系

数学中研究的许多代数簇都具有一个非常重要的二元关系。在本节中，我们将研究这种情况。

定义（单位元）:

设${\mathcal {A}}$ 为一个代数簇，并设$A$ 为${\mathcal {A}}$ 的一个实例。假设${\mathcal {A}}$ 的实例具有一个二元运算$*$。那么，关于$*$ 的$A$ 的**单位元**是一个元素$e\in A$，它对应于${\mathcal {A}}$ 的一个 0 元运算，使得规则$x*e=x$ 成立，其中$x$ 是一个变量。

定义（结合律）:

设${\mathcal {A}}$ 为一个代数簇，其实例具有一个二元运算$*$。当且仅当规则$x*(y*z)=(x*y)*z$ 对${\mathcal {A}}$ 成立时，此二元关系称为**结合的**。

定义（逆元）:

设${\mathcal {A}}$ 为一个代数簇，其实例具有一个二元运算$*$ 和一个单位元$e$。**逆运算**是在${\mathcal {A}}$ 上的一元运算$~^{-1}$，使得规则$x*x^{-1}=e$ 成立。

定义（交换律）

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设${\mathcal {A}}$ 是一个代数簇，具有二元关系 $*$。当且仅当规则 $x*y=y*x$ 成立时，此二元关系称为交换的。

命题（更高阶结合律）:

设${\mathcal {A}}$ 是一个代数簇，具有二元关系 $*$。假设 $*$ 是结合的。然后设 $A$ 是 ${\mathcal {A}}$ 的一个实例，并设 $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A$。设 $w\in D_{1}$ 是第一个 Dyck 语言 $D_{1}$ 的一个词。