泛代数/定义、例子

回想一下，每当$S$ 是一个集合，那么${\mathcal {T}}(S)$ 是所有$S$-元组的类，无论大小。

定义（运算）:

令$A$ 为一个集合。$A$ 上的运算是一个子类$\alpha \subseteq {\mathcal {T}}(A)$ 以及一个函数$\circ :\alpha \to A$.

注意，在这个定义中，$\alpha =\{()\}$ （只包含空元组的集合）是允许的，因此在这种情况下，$\circ$ 可以被视为$A$ 中的一个常数。习惯上将$0$-元运算视为$A$ 中的常数。

定义（元数）:

令$A$ 为一个集合，并带有一个运算$\circ$。如果$c$ 是一个基数，并且$\circ$ 恰好定义在基数为$c$ 的元组上，那么$c$ 称为运算$\circ$ 的元数。$\circ$ 则称为$c$-元。

定义（任意元）:

令$A$ 为一个集合，并具有一个运算 $\circ$。如果 $\circ$ 在 ${\mathcal {T}}(A)$ 上定义，则称其为任意。

命题（交集保持封闭性质）:

令$S$ 为代数簇的一个实例，其运算为$\circ _{1},\ldots ,\circ _{n}$，令 $(M_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为 $S$ 的子集族，使得每个 $M_{\alpha }$ 在所有运算 $\circ _{1},\ldots ,\circ _{n}$ 下是封闭的。那么 $\cap _{\alpha \in A}M_{\alpha }$ 在运算 $\circ _{1},\ldots ,\circ _{n}$ 下也是封闭的。

证明：假设$j\in [n]$，为了简化符号，定义$M:=\cap _{\alpha \in A}M_{\alpha }$。假设$\sigma \in {\mathcal {T}}(M)$ 是一个位于$\circ _{j}$ 定义域内的元组。那么根据假设，对于每个$\alpha \in A$，$\circ _{j}(\sigma )$ 位于 $M_{\alpha }$ 中，因此 $\circ _{j}(\sigma )$ 位于 $M$ 中。 $\Box$

定义（代数簇）:

代数簇是指所有集合$A$，它们具有特定运算$(\circ _{\beta })_{\alpha \in B}$（其中$B$ 是一个固定索引集，特定于手头的代数簇），因此对于每个$\beta$，运算$\circ _{\beta }$ 定义在所有由集合论表达式定义的元组上，该表达式仅依赖于$\beta$ 和其他运算，并且满足一组规则$(S_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$，其中规则定义如下

1. 项 的递归定义如下
   1. 所有$0$ 元运算（及其元组）都是项
   2. 所有变量（对我们而言仅仅是字母）都是项
   3. 每当 $(t_{\delta })_{\delta \in \Delta }$ 是一个项元组时，$\circ _{\beta }((t_{\delta })_{\delta \in \Delta })$ 是一个项。
2. 一个规则 则是一个形如 $t=s$ 的表达式，其中 $s$ 和 $t$ 是项。
3. 如果该规则在变量被适当的元组替换后（即项的表达式都有意义，例如 $A$ 的运算在所有得到的元组上都有定义），其给出的恒等式都成立，则称该规则对于给定的代数结构成立。

定义（代数结构）:

给定代数品种的代数结构 是该代数品种的一个元素。

定义（子结构）:

如果 $A$ 是给定代数品种的代数结构，并且 $B\subseteq A$ 是一个子集，它配备了 $A$ 运算的限制，本身是该代数品种的代数结构，则 $B$ 被称为 $A$ 的子结构。

命题（在运算下封闭意味着代数结构）:

设 $A$ 是一个代数结构，设 $B\subseteq A$ 是一个在所有与 $A$ 相关的运算下封闭的子集。则 $B$ 是与 $A$ 相同代数品种的代数结构。

例如，如果我们有一个群的子集，它包含单位元，并且在逆运算和乘法运算下封闭（也就是说，如果我们有一个群的子集，它在 0 元、1 元和 2 元运算下封闭），那么该子集就是一个子群。

证明：我们只需注意到规则的有效性并没有被破坏，因为我们所做的只是对一个更小的类别进行量化。 $\Box$

命题（最大下界结构是交集）:

设 $A$ 为一个集合，带有运算 $(\circ _{\alpha })_{\alpha \in A}$，并设 $(B_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$ 为一个非平凡的 $A$ 子集族，当 $A$ 的运算限制在它们上时，它们都是同一代数簇的代数结构。那么，它们关于集合包含的最小上界代数结构由交集 $\cap _{\gamma \in \Gamma }B_{\gamma }$ 给出。

证明：交集 $\cap _{\gamma \in \Gamma }B_{\gamma }$ 在所有交集下封闭，因为 交集保持封闭性质，并且，由于 在运算下封闭的子集本身就是一个子结构，所以它也是任何 $B_{\alpha }$ 的子结构，即它本身是一个代数结构。显然，它是所有 $B_{\gamma }$ 中包含的最大一个，因为它恰好包含所有 $B_{\gamma }$ 中的元素，因此任何额外的元素都不会被包含在所有 $B_{\gamma }$ 中。 $\Box$