VCE 数学方法/从基本原理推导微分

理论

公式

给定函数 f，导数（有时称为“梯度”）函数的规则定义为 $f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\,$.

方法

请记住，为了计算极限，我们通常将给定的值代入表达式。但是，对于上面的公式，将$h=0$代入会导致零除，这是数学上不可能的。因此，为了使用此公式，您需要将规则$f(x+h)$和$f(x)$代入，然后简化以消除分数，只有这样才能代入$h=0$。这被称为从基本原理推导微分。

例如

设$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=2x$

让我们从基本原理推导出 f 的导数。

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2(x+h)-2x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2x+2h-2x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2h}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}2\\&=2\\\end{aligned}}$.
因此，我们可以将梯度函数定义为$f':\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f'(x)=2$

练习

第一题
从基本原理推导出以下函数的导数。
(a) $f(x)=4x$
(b) $f(x)=7x$
(c) $f(x)=2x+1$
(d) $f(x)=3x+3$

第二题
从基本原理推导出以下函数的导数。
(a) $g(x)=x^{2}$
(b) $f(x)=5x^{2}$
(c) $f(x)=2x^{2}+3$
(d) $f(x)=(x+3)(x+4)$