VCE 数学方法/反函数

理论

反函数的存在

一个函数只有在它是单射函数时才存在反函数：也就是说，对于每个y值，只有一个对应的x值。为了测试一个函数是否为单射函数，我们可以通过函数图形画出多条水平线。如果任何一条水平线与函数图形的交点超过一次，则该函数就不是单射函数。

例如，考虑函数$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}$ 的图形。

我们可以通过图形画出任何位置的水平线（除了$x=0$ 处的转折点），它将与图形相交两次。因此，f 不是单射函数，因此没有反函数。

然而，考虑函数$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,g(x)=x^{3}$。

此函数是单射函数，因此将有一个反函数，我们用$g^{-1}\,$ 表示。

反函数的规则

函数f的反函数的规则可以通过令$y=f(x)$，交换y和x变量，然后重新排列使y成为主语来找到。

例如，考虑g。要找到$g^{-1}(x)$ 的规则，令$g(x)=y$ 现在 $y=x^{3}\,$。交换x和y变量得到$x=y^{3}\,$。现在对等式的两边开立方得到$y={\sqrt[{3}]{x}}\,$。现在令$y=g^{-1}(x)$，我们有：

$g^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{x}}$

反函数的定义域和值域

因为在求反函数时，我们交换了每个有序对中的x和y值，所以函数的定义域是反函数的值域；函数的值域是反函数的定义域。

因此：${\mbox{dom}}f={\mbox{ran}}f^{-1}{\mbox{ and ran}}f={\mbox{dom}}f^{-1}\,$