吠陀数学/它为何有效？

简介

应该理解，在其他章节中描述的许多技巧中，没有魔法，事实上，数学中一般来说没有魔法，可以说，数学是所有科学中最纯粹的，因为没有意见，数学不需要实验或对结果的解释；事情要么是真的，（即它们被证明是真的），要么就不是真的。既然如此，之前描述的所有技巧都有其有效的原因。
有些技巧有效的原因仅仅是因为它们以更有效的方式执行了一种众所周知的算法（例如长乘法），（通常是由于特定问题的性质，例如乘以 11 的技巧），即使一开始很难看出来。其他的技巧则利用了不太为人知的数学定律，（例如代数、二次方程、模运算或“时钟”算术等）。无论哪种情况，都不需要知道技巧的原理才能使用它，（就像你不需要知道汽车的原理才能驾驶一样）。正因为如此，以及为了让前面的章节更易于使用，对每个技巧原理的描述都被省略了。
然而，对于那些好奇并想进一步研究的人，本章将描述许多吠陀数学技巧的原理。请记住，下面的某些描述需要你了解你可能不熟悉的数学领域。希望这能激励你研究这些领域，并扩展你的数学知识，（这是一种非常有益的方式，可以发现一个主题的新方面）。但是，即使不是这样，你也可以（也应该）仍然使用这些技巧，并欣慰地知道，即使你不了解这些技巧是如何工作的，它们仍然可以提高你的数值和算术技能。
将本节视为一个附录，对进一步研究很有用，但对于理解本书的主题并不重要。

乘法技巧

乘以 11

使用长乘法乘以 11 时，可以发现运算过程中的模式，例如

 46     876     4386      432672
 11x     11x      11x         11x
 --     ---     ----     -------
 46     876     4386      432672
460+   8760+   43860+    4326720+
---    ----    -----    --------
506    9636    48246     4759392
---    ----    -----    --------

你可以看到，在上面每个长乘法的加法部分，除了第一列和最后一列之外，每列都是该列中原始数字和下一个数字（向右）的总和。一旦你知道了这一点，你就可以直接写下任何数字乘以 11 的结果。
从右到左运算

1. 写下最右边的数字。
2. 将每对数字相加，并将结果从右到左写下（必要时进位）。
3. 最后写下最左边的数字。

例如

• 将 712 乘以 11

${\begin{matrix}&7&&1&&2\\&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow \\7&&8&&3&&2\end{matrix}}$

712x11=7832

从右到左运算而不是通常的从左到右运算的原因是，这样你就可以在运算过程中将任何进位加进去。例如

• 将 8738 乘以 11

${\begin{matrix}&8&&7&&3&&8\\&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow \\9&\leftarrow _{1}&6&\leftarrow _{1}&1&\leftarrow _{1}&1&&8\end{matrix}}$

8738x11=96118

乘以接近 10 的幂的数字

在技巧部分，表明**纵向和横向**口诀可以很容易地乘以接近 100 的数字。然后表明，相同的技巧可以用来乘以任何接近 10 的幂的数字，实际上，一般的技巧对任何接近任何基数的数字都有效，关键因素是，如果初始减法得出的数字更容易相乘，那么该技巧是有用的。要理解这个技巧为何有效，你需要对代数和二次方程有一个基本的理解。

考虑两个要相乘的数字A和B，以及一个与这两个数字都接近的第三个数字X（我们将X称为“基数”）。我们假设数字A和B很难相乘，因此我们正在寻找一个更简单的替代方法，它只涉及加法、减法和更容易的数字的乘法（例如，更小的或更简单的数字）。关键是要意识到，由于X与这两个数字都接近，我们可以通过从X中减去每个数字来生成更小的数字（希望更容易操作）（我们将这些更小的数字称为a和b）。即

 ${\begin{aligned}&a=X-A\\&b=X-B\\Thus:\\&A=X-a\quad (1)\\&B=X-b\quad (2)\end{aligned}}$

我们可以通过使用上面的等式 (1) 和 (2) 代入A和B来相乘A和B，即

 ${\begin{aligned}AB&=(X-a)(X-b)\\&=X^{2}-aX-bX+ab\\&=X(X-a-b)+ab\end{aligned}}$

现在我们有了可以操作的东西！你可以从上面的等式中看到，我们可以用一些小数字的减法(X-a-b)、这个减法结果乘以“基数”数字X，以及随后加一个小乘法ab来代替A和B的乘法。（请记住，a和b很小，因为X接近A和B，并且a=X-A，b=X-B）。唯一可能很困难的乘法是X乘以初始减法(X-a-b)的结果，但是，如果我们仔细选择X（例如，通过使X为 10 的幂），我们可以确保这个乘法也很简单。有了这些知识，我们现在就可以理解**纵向和横向**乘法技巧了。即

${\begin{matrix}A&\longrightarrow &(X-A)\\\\B&\longrightarrow &(X-B)\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}A&\longrightarrow &a\\\\B&\longrightarrow &b\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}A&&a\\&&\downarrow \\B&&b\\\hline &&ab\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}\quad \quad A&&a\\&\nwarrow &\\\quad \quad B&&b\\\hline (A-b)&&ab\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}\quad \quad A&&a\\&&\\\quad \quad B&&b\\\hline (X-a-b)&&ab\end{matrix}}$

也许最聪明的一点是，如果基数X是 10 的适当幂，那么(X-a-b)乘以X以及随后加ab的步骤将通过在(X-a-b)数字的末尾附加ab数字而造成的数字位置的位移自动处理。唯一可能存在的问题是，如果乘积ab等于或大于基数X。在这种情况下，(X-a-b)数字的位置位移会多一位，因此，乘积ab的最高位数字必须“进位”，然后加到(X-a-b)的值。