0.999.../小数加减法

无限小数的加减法包括一些简单的例子和一些困难的例子。即使对于有限小数，没有进位的等式也易于验证（ $123456 + 654321 = 777777$ ），而带有大量进位的计算相对难以执行（ $3456 + 6549 = ???$ ）。无限小数也存在类似现象。

幸运的是，我们不会遇到任何带有进位的加法问题，因此我们可以专注于几个简单证明，这些证明没有进位。

假设

定理

按位加法是正确的

陈述

如果有三个小数 $A = a 0 . a 1 a 2 a 3 \dots$ ， $B = b 0 . b 1 b 2 b 3 \dots$ 和 $C = c 0 . c 1 c 2 c 3 \dots$ ，使得对于每个索引 $n$ ， $a n + b n = c n$ ，那么then $A + B = C$ 。

证明

我们应用无限小数作为级数的定义

C=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}+b_{n}}{10^{n}}}.

^[1]

接下来我们应用级数的和可以逐项计算这一事实

C=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{10^{n}}}=A+B.

按位减法是正确的

陈述

如果有三个小数 $A = a 0 . a 1 a 2 a 3 \dots$ ， $B = b 0 . b 1 b 2 b 3 \dots$ 和 $C = c 0 . c 1 c 2 c 3 \dots$ ，使得对于每个索引 $n$ ， $a n - b n = c n$ ，那么 $A - B = C$ 。

证明

证明几乎与前面的证明相同

C=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}-b_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{10^{n}}}=A-B.

未走之路

如果 $A$ 和 $B$ 是任意无限小数，那么计算 $A + B = C$ 的小数展开式可能很棘手。问题是由从一位数进位到下一位数的现象引起的。为了计算 $C$ 的任何一位数，可能需要检查 $A$ 和 $B$ 的更多位数，以确保它们的和不会进位到目标位数。

本书没有探讨任意小数的加法，主要是因为它很困难而且没有必要。

[1]