0.999.../十进制乘以10

将无限小数乘以10 与将有限小数乘以10 一样简单：每一位向左移动一位。

假设

如果 $A = 0. a 1 a 2 a 3 \dots$ ，则 $10 \times A = a 1 . a 2 a 3 a 4 \dots$

A=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.

10A=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {10a_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n-1}}}.

接下来我们移动级数

10A=a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1}}{10^{(n+1)-1}}}.

但是根据假设， $a 0 = 0$ ，所以我们可以简化

10A=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1}}{10^{n}}},

这就是我们想要的结果。