0.999.../德德金分割证明相等

假设

• 从德德金分割构造实数
• 德德金分割定义

证明

在德德金分割方法中，实数 1 是所有小于 1 的有理数的集合。

$1=\left\{r|r\in {\textbf {Q}}\land r<{\tfrac {1}{1}}\right\}$

同时，实数 0.999... 是有理数 *r* 的集合，其中 *r* < 0，或者 *r* < 0.9，或者 *r* < 0.99，或者 *r* 小于其他形式的数字

$1-{\tfrac {1}{10^{n}}}$

完整地

$0.999...=\left\{r|r\in {\textbf {Q}}\land \exists n\in {\textbf {N}}:r<1-{\tfrac {1}{10^{n}}}\right\}$

然后，证明这两个德德金分割相等的证明依赖于证明这两个集合条件是等价的。

可以证明任何小于 0.999... 的有理数也小于 1，因为任何非负数 *n* 都将给出 1-(1/10)^*n* 的值，它小于 1。

剩下要证明的是，如果一个有理数小于 1，那么它总是在 0.999... 中，即

$r<1\rightarrow \exists n\in {\textbf {N}}:r<1-{\tfrac {1}{10^{n}}}$

对于 Q 中的任何 *r*

用自然分数 *a/b* 替换 *r*

${\tfrac {a}{b}}<1\rightarrow \exists n\in {\textbf {N}}:{\tfrac {a}{b}}<1-{\tfrac {1}{10^{n}}}$

让量化中的 *n* 等于分母 *b*，则得到

${\tfrac {a}{b}}<1-{\tfrac {1}{10^{b}}}$

用 10^ *b* 交叉相乘得到

$a\times 10^{b}<b\times 10^{b}-b$

由于我们知道 *a* 小于 *b*，并且 10 是正数，所以这总是成立的。

因此，这两个集合是等价的，并且 0.999... = 1。