A-level 数学/CIE/纯数学 1/积分

反导数

积分被定义为微分的逆过程。因此，它是找到表达式**反导数**的过程。

反导数也称为表达式的**积分**，并用符号 $\int$ 表示。

例如， $\int 2x\ dx=x^{2}$

积分常数

积分的一个问题是，许多不同的表达式具有相同的导数，例如 ${\dfrac {d}{dx}}(x^{2}+3)=2x$ 和 ${\dfrac {d}{dx}}(x^{2}-5)=2x$ 。具有不同常数项的表达式可能具有相同的导数，因此当我们对表达式进行积分时，我们需要在末尾添加一个任意常数 $+c$ ，它代表这个未知值。

因此， $\int 2x\ dx=x^{2}+c$

在某些情况下，我们有一个曲线上的点以及它的导数表达式。由此，我们需要找到曲线的方程，这将要求我们通过代入该点的值来找到积分常数。

例如，点 $(3,2)$ 位于一条斜率为 ${\dfrac {dy}{dx}}=x^{2}$ 的曲线上。求出曲线的方程。

${\begin{aligned}&y=\int x^{2}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}+c\\(3,2)\implies &2={\frac {3^{3}}{3}}+c\\&2=9+c\\&c=-7\\&y={\frac {x^{3}}{3}}-7\end{aligned}}$

定积分

**定积分**是在两个给定边界 $a$ 和 $b$ 之间的积分。这些边界写为 $\int _{a}^{b}$ .

对于一个函数 $f(x)$ ，其积分 $F(x)$ ，定积分 $\int _{a}^{b}f(x)\ dx=F(b)-F(a)$

例如，求 $\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\ dx$

${\begin{aligned}\int {\sqrt {x}}\ dx&=\int x^{\tfrac {1}{2}}\ dx\\&={\frac {x^{\tfrac {3}{2}}}{\tfrac {3}{2}}}+c\\&={\frac {2}{3}}x^{\tfrac {3}{2}}+c\\\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\ dx&=\left[{\frac {2}{3}}x^{\tfrac {3}{2}}+c\right]_{0}^{1}\\&={\frac {2}{3}}1^{\tfrac {3}{2}}+c-({\frac {2}{3}}0^{\tfrac {3}{2}}+c)\\&={\frac {2}{3}}+c-0-c={\frac {2}{3}}\end{aligned}}$

注意，对于定积分，任意常数项会抵消。这意味着我们在处理定积分时不需要实际写出这些常数项。

广义积分

广义积分是指其中一个积分限无效的定积分。

例如， $\int _{-1}^{1}x^{-2}\ dx$ 在 $x=0$ 处无效。

为了计算广义积分，我们需要找到积分限趋近于我们所求值的极限。

${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}x^{-2}\ dx&=\lim _{a\rightarrow 1}\int _{-1}^{a}x^{-2}\ dx\\&=\lim _{a\rightarrow 1}\left[-{\frac {x^{-3}}{3}}\right]_{-1}^{a}\\&=\lim _{a\rightarrow 1}-{\frac {a^{-3}}{3}}-(-{\frac {-1^{-3}}{3}})\\&=\lim _{a\rightarrow 1}-{\frac {a^{-3}}{3}}+{\frac {-1}{3}}\\&=-{\frac {1^{-3}}{3}}+{\frac {-1}{3}}\\&=-{\frac {1}{3}}+{\frac {-1}{3}}\\&=-{\frac {2}{3}}\end{aligned}}$

曲线下的面积

定积分可以用来求曲线下的面积。

例如，求由 $y=x^{2}+2$ 、x 轴、直线 $x=3$ 和直线 $x=6$ 所包围的面积。

${\begin{aligned}A&=\int _{3}^{6}x^{2}+2\ dx\\&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}+2x\right]_{3}^{6}\\&={\frac {6^{3}}{3}}+2(6)-({\frac {3^{3}}{3}}+2(3))\\&={\frac {216}{3}}+12-{\frac {27}{3}}-6\\&=72+12-9-6\\&=69\end{aligned}}$

旋转体

旋转体是通过在两个边界之间绕某个轴旋转曲线得到的体积。

体积可以被计算为一系列微小圆柱体的总和。如果我们绕 x 轴旋转，这个总和等于 $\sum _{x=a}^{b}\pi (f(x))^{2}\delta x$ ，其中 $\delta x$ 是每个圆柱的宽度。当 $\delta x$ 趋近于零时，这个总和变为 $\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}dx$ .

← 微分