A-level 数学/CIE/纯数学 1/微分

曲线上的点的斜率

曲线上的一个点的斜率等于该点切线的斜率。由于直接测量切线的斜率很困难，我们使用割线来近似它。割线是在曲线上的两个点之间的一条线。

导数的正式定义

假设我们想要找到坐标为 $(x,y)$ 的点的斜率。我们可以使用经过 $(x,y)$ 和 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 的割线来近似它，其中 $\Delta x$ 是 $x$ 的一个微小变化，而 $\Delta y$ 是由此产生的 $y$ 的微小变化。

割线的斜率为 ${\frac {rise}{run}}={\frac {y+\Delta y-y}{x+\Delta x-x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 。当 $\Delta x$ 越来越小时， ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 接近点 $(x,y)$ 的斜率。

当 $\Delta x$ 趋近于零时， ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 的极限是我们所要找的值：点 $(x,y)$ 的梯度。对于任意点 $(x,y)$ ，梯度可以用导数表示。

函数 $f$ 的导数 $f'$ 是一个函数，它提供了 $f$ 所产生的曲线在点 $(x,f(x))$ 的梯度。导数的正式定义为 $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

符号

表示函数导数主要有两种方式： $f'(x)$ 和 ${\dfrac {df}{dx}}$ 。它们都表示相同的意思： $f$ 关于 $x$ 的导数。

简单规则

以下是一些简单的规则，可以使复杂表达式的求导更容易。

幂律

${\dfrac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

例如， ${\dfrac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}$

求和法则

${\dfrac {d}{dx}}{\big (}f(x)+g(x){\big )}=f'(x)+g'(x)$

例如， ${\dfrac {d}{dx}}(x^{2}+x^{4})=2x+4x^{3}$

常数法则

${\dfrac {d}{dx}}{\big (}kf(x){\big )}=kf'(x)$

例如， ${\dfrac {d}{dx}}(4x^{2})=4(2x)=8x$

链式法则

${\dfrac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))\times g'(x)$

例如， ${\dfrac {d}{dx}}(2x+1)^{3}=3(2x+1)^{2}\times 2=6(2x+1)^{2}$

切线和法线

切线是一条经过给定点的直线，它的斜率等于曲线在该点的斜率。法线是一条经过给定点的直线，它垂直于曲线在该点的切线。

要找到曲线在特定点处的切线或法线的方程，我们可以使用我们在坐标几何中使用的直线方程。

例如，求曲线 $x^{3}-5x^{2}+2x+6$ 在点 $(2,-2)$ 处的切线和法线的方程。

${\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}(x^{3}-5x^{2}+2x+6)&=3x^{2}-10x+2\\{\text{Gradient at }}(2,-2)=3(2)^{2}-10(2)+2&=12-20+2=-6\\{\text{Tangent: }}{\frac {y+2}{x-2}}=-6\implies y+2&=-6x+12\implies y=10-6x\\{\text{Normal: }}{\frac {y+2}{x-2}}={\frac {-1}{-6}}\implies y+2&={\frac {x-2}{6}}\implies y={\frac {x}{6}}-{\frac {7}{3}}\end{aligned}}$