A-level 数学/CIE/纯数学 2/微分

对数函数和指数函数的微分

函数 $y=e^{x}$ 本身就是其导数：${\dfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$。常数 $e$ 被定义为使其成立。

具有不同底数的指数函数可以使用对数转换为 $e^{kx}$ 的形式，例如 $2^{x}=e^{\ln 2x}$。可以使用链式法则找到此类表达式的导数：${\dfrac {d}{dx}}2^{x}={\dfrac {d}{dx}}e^{\ln 2x}=\ln 2\ e^{\ln 2x}=2^{x}\ln 2$。

${\dfrac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}$

对数的导数为 ${\dfrac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}$。将链式法则应用于此将产生结果

${\dfrac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}$

了解这些规则如何与其他表达式交互很重要。

例如，${\dfrac {d}{dx}}e^{x^{2}+\ln {\tfrac {1}{x}}}=e^{x^{2}+\ln {\tfrac {1}{x}}}({\dfrac {d}{dx}}x^{2}+\ln {\tfrac {1}{x}})=e^{x^{2}+\ln {\tfrac {1}{x}}}(2x+{\frac {-x^{-2}}{1/x}})=e^{x^{2}+\ln {\tfrac {1}{x}}}(2x-x^{-1})$

三角函数的求导

三角函数导数的证明

这些导数的证明超出了大纲范围，但我们可以使用加法公式来找到它们。

三角函数有以下导数

• ${\dfrac {d}{dx}}\sin x=\cos x$
• ${\dfrac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$
• ${\dfrac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x$
• ${\dfrac {d}{dx}}\tan ^{-1}x={\frac {1}{1+x^{2}}}$

乘积法则

乘积法则的证明

考虑一个长边为 $f(x)$，短边为 $g(x)$ 的矩形。矩形的面积等价于乘积的值。当 x 增加一个小的量 $\delta x$ 时，面积会发生变化。新面积为 $f(x+\delta x)g(x+\delta x)$。因此，面积的变化为 $f(x+\delta x)g(x+\delta x)-f(x)g(x)$

等价于 $(f(x)+\delta f)(g(x)+\delta g)-f(x)g(x)$

其中 $\delta f$ 是差值 $f(x+\delta x)-f(x)$

并且 $\delta g$ 是差 $g(x+\delta x)-g(x)$.

${\begin{aligned}&(f(x)+\delta f)(g(x)+\delta g)-f(x)g(x)\\=&f(x)g(x)+f(x)\delta g+g(x)\delta f+\delta f\delta g-f(x)g(x)\\=&f(x)\delta g+g(x)\delta f+\delta f\delta g\end{aligned}}$

当 $\delta x$ 趋近于零时，项 $\delta f\delta g$ 变得可以忽略不计。因此，面积的变化是 $f(x)\delta g+g(x)\delta f$，并且因为乘积的导数是面积的变化除以 $x$ 的变化，${\dfrac {d}{dx}}f(x)g(x)=f(x){\dfrac {dg}{dx}}+g(x){\dfrac {df}{dx}}$

乘积法则指出

${\dfrac {d}{dx}}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$

例如，${\dfrac {d}{dx}}xe^{x}=x{\dfrac {d}{dx}}e^{x}+e^{x}{\dfrac {d}{dx}}x=xe^{x}+e^{x}=e^{x}(x+1)$

商法则

商法则是在乘积法则中，当乘积中的一个项为倒数时的一种特殊情况。

例如，计算 ${\dfrac {d}{dx}}{\frac {2x+3}{x+4}}$

${\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}{\frac {2x+3}{x+4}}&={\dfrac {d}{dx}}(2x+3){\frac {1}{x+4}}\\&=(2x+3){\dfrac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x+4}}\right)+{\frac {1}{x+4}}{\dfrac {d}{dx}}(2x+3)\\&=-(2x+3)(x+4)^{-2}+{\frac {1}{x+4}}(2)\\&={\frac {-(2x+3)}{(x+4)^{2}}}+{\frac {2}{x+4}}\\&={\frac {-(2x+3)}{(x+4)^{2}}}+{\frac {2x+8}{(x+4)^{2}}}\\&={\frac {2x+8-2x-3}{(x+4)^{2}}}\\&={\frac {5}{(x+4)^{2}}}\end{aligned}}$

一般而言

${\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}{\frac {u}{v}}&=u{\dfrac {d}{dx}}{\frac {1}{v}}+{\frac {1}{v}}{\dfrac {du}{dx}}\\&=u(-v)^{-2}{\dfrac {dv}{dx}}+{\frac {v}{v^{2}}}{\dfrac {du}{dx}}\\&={\frac {-u{\tfrac {dv}{dx}}+v{\tfrac {du}{dx}}}{v^{2}}}\\&={\frac {v{\tfrac {du}{dx}}-u{\tfrac {dv}{dx}}}{v^{2}}}\end{aligned}}$

隐式微分

隐式微分是指对没有明确定义的函数进行微分，其中 y 不是自变量。要做到这一点，使用链式法则比较合理。

例如，求 ${\dfrac {dy}{dx}}$ 的表达式，当 $x^{2}+y^{2}=1$.

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1\\{\dfrac {d}{dx}}x^{2}+y^{2}&={\dfrac {d}{dx}}1\\2x+{\dfrac {dy^{2}}{dx}}&=0\\2x+{\dfrac {dy^{2}}{dy}}{\dfrac {dy}{dx}}&=0\quad {\text{Use the chain rule}}\\2x+2y{\dfrac {dy}{dx}}&=0\\2y{\dfrac {dy}{dx}}&=-2x\\{\dfrac {dy}{dx}}&=-{\frac {2x}{2y}}=-{\frac {x}{y}}\end{aligned}}$

有时，我们还需要使用乘积法则。

例如，求 ${\dfrac {dy}{dx}}$ 的表达式，其中 $x^{2}+6xy+y^{2}=1$.

${\begin{aligned}x^{2}+6xy+y^{2}&=1\\{\dfrac {d}{dx}}x^{2}+6xy+y^{2}&={\dfrac {d}{dx}}1\\2x+{\dfrac {d}{dx}}6xy+{\dfrac {d}{dx}}y^{2}&=0\\2x+6x{\dfrac {dy}{dx}}+y{\dfrac {d}{dx}}6x+{\dfrac {dy^{2}}{dy}}{\dfrac {dy}{dx}}&=0\\2x+6x{\dfrac {dy}{dx}}+6y+2y{\dfrac {dy}{dx}}&=0\\2x+6y+(6x+2y){\dfrac {dy}{dx}}&=0\\(6x+2y){\dfrac {dy}{dx}}&=-2x-6y\\{\dfrac {dy}{dx}}&={\frac {-2x-6y}{6x+2y}}\\{\dfrac {dy}{dx}}&={\frac {-x-3y}{3x+y}}\end{aligned}}$

参数微分

参数方程是指，当 $y$ 不是由 $x$ 直接定义时，$y$ 和 $x$ 都与第三个参数 $t$ 相关联，例如 $x=3t,y=t^{2}$

当 $y$ 和 $x$ 是参数定义时，我们需要用链式法则来求 ${\dfrac {dy}{dx}}$

${\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {dy}{dt}}\times {\dfrac {dt}{dx}}={\dfrac {dy}{dt}}\div {\dfrac {dx}{dt}}$

所以，对于例子 $x=3t,y=t^{2}$，${\dfrac {dx}{dt}}=3$，${\dfrac {dy}{dt}}=2t$，因此 ${\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {dy}{dt}}\div {\dfrac {dx}{dt}}=2t\div 3={\frac {2t}{3}}$