A-level 数学/CIE/纯数学 2/积分

积分作为反向微分

幂律

微分的幂律指出

${\dfrac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

它的反向是 $\int nx^{n-1}dx=x^{n}+c$，它可以写成 $\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$

这是积分的幂律。

指数 & 对数

关于指数和对数的导数，我们知道

• ${\dfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$
• ${\dfrac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}$

反转这些，我们得到

• $\int e^{x}=e^{x}+c$
• $\int {\frac {1}{x}}=\ln |x|$

自然对数采用模数输入，以便它可以处理负数。

请注意，类似的规则适用于与这些函数组合的任何线性表达式

• $\int e^{ax+b}={\frac {1}{a}}e^{ax+b}+c$
• $\int {\frac {1}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\ln |ax+b|$

三角函数

三角函数的导数是

• ${\dfrac {d}{dx}}\sin x=\cos x$
• ${\dfrac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$
• ${\dfrac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x$
• ${\dfrac {d}{dx}}\tan ^{-1}x={\frac {1}{1+x^{2}}}$

因此，相应的积分是

• $\int \cos x=\sin x+c$
• $\int \sin x=-\cos x+c$
• $\int \sec ^{2}x=\tan x+c$
• $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}=\tan ^{-1}x+c$

与指数函数和对数函数一样，这适用于由三角函数构成的线性表达式

• $\int \cos(ax+b)={\frac {1}{a}}\sin(ax+b)+c$
• $\int \sin(ax+b)=-{\frac {1}{a}}\cos(ax+b)+c$
• $\int \sec ^{2}(ax+b)={\frac {1}{a}}\tan(ax+b)+c$
• $\int {\frac {1}{1+(ax+b)^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}(ax+b)+c$

在积分中使用三角学

有时，在求表达式的积分时，使用三角恒等式会很有用。

例如，求积分 $\int 4\cos ^{2}xdx$.

${\begin{aligned}\cos 2x&=2\cos ^{2}x-1\quad {\text{Double Angle Identity}}\\\cos ^{2}x&={\frac {\cos 2x-1}{2}}\\\int 4\cos ^{2}xdx&=\int 4{\frac {\cos 2x-1}{2}}dx\\&=\int \cos 2x-1dx\\&={\frac {1}{2}}\sin 2x-x+c\end{aligned}}$

梯形法则

曲线下的面积可以用多个梯形的面积来近似。

梯形法则指出，曲线下的面积可以用求梯形面积之和来近似。梯形的面积由$A={\frac {B+b}{2}}h$给出。其中$B$是较长边的长度，$b$是较短边的长度，$h$是两边之间垂直距离的长度。

在梯形法则中，每个梯形的垂直距离$h$是一个常数$\Delta x$: 每个梯形的宽度。边的长度由曲线上的点给出。因此，对于用梯形近似的曲线$f(x)$，每个梯形的面积为$A_{i}={\frac {f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}}\Delta x$.

在界限$a$和$b$之间的曲线下的面积是梯形面积之和：$A=\sum _{x=a}^{b}{\frac {f(x)+f(x+\Delta x)}{2}}\Delta x$.

因为$\Delta x$是常数，面积的表达式可以写成$A={\frac {f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +2f(b-\Delta x)+(b)}{2}}\Delta x$，可以简化为$A=\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right)\Delta x$

因此，梯形法则指出

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right)\Delta x$

梯形法则应用实例

Q. 使用梯形法则，将区间分成 4 个小区间，估算 ${\textstyle \int _{0}^{4}2{\sqrt {4x-x^{2}}}~dx}$ 的值，并将答案保留两位小数。

A.

${\textstyle a=0}$，${\textstyle b=4}$，以及 ${\textstyle h=1}$

使用 $y=2{\sqrt {4x-x^{2}}}$

${\textstyle x}$	0	1	2	3	4
${\textstyle y}$	${\textstyle y_{0}=0}$	${\textstyle y_{1}=2{\sqrt {3}}}$	${\textstyle y_{2}={4}}$	${\textstyle y_{3}=2{\sqrt {3}}}$	${\textstyle y_{4}=0}$

$\int _{0}^{4}2{\sqrt {4x-x^{2}}}~dx\approx {\frac {h}{2}}\left[y_{0}+y_{4}+2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)\right]$

$\approx {\frac {1}{2}}[0+0+2(2{\sqrt {3}}+4+2{\sqrt {3}})]$

$\approx 4{\sqrt {3}}+4$

$\approx 10.93$（保留两位小数）