A-level 数学/CIE/纯数学 2/对数与指数函数

对数和指数

对数是指数函数的逆函数。

例如，函数 $f(x)=3^{x}$ 的逆函数是 $f^{-1}(x)=\log _{3}x$。

一般情况下，$y=b^{x}\iff x=\log _{b}y$，前提是 $b>0$。

对数定律

对数定律可以从指数定律推导出来

${\begin{aligned}x^{a+b}=x^{a}\times x^{b}&\iff \log a+\log b=\log ab\\x^{a-b}=x^{a}\div x^{b}&\iff \log a-\log b=\log a/b\\(x^{a})^{b}=x^{ab}&\iff \log a^{b}=b\log a\end{aligned}}$

这些定律适用于任何给定底的对数

自然对数

自然对数是以 $e$ 为底的对数，其中 $e$ 是一个常数，使得函数 $e^{x}$ 是它自身的导数。

自然对数有一个特殊的符号：$\ln x$

图形 $y=e^{kx}$ 当 $k>0$ 时呈指数增长，当 $k<0$ 时呈指数衰减。反函数的图形是 $y={\frac {1}{k}}\ln x$。这里 是一个交互式图形，它展示了这两个函数作为彼此的反函数。

解对数方程和指数方程

指数方程 是一个方程，其中一个或多个项是指数函数。例如 $5^{x}=2^{x+2}$。指数方程可以用对数来解。

例如，解 $3^{x+1}=4^{2x-1}$

${\begin{aligned}3^{x+1}&=4^{2x-1}\\(x+1)\ln 3&=(2x-1)\ln 4\\x\ln 3+\ln 3&=2x\ln 4-\ln 4\\\ln 3+\ln 4&=x(2\ln 4-\ln 3)\\x&={\frac {\ln 3+\ln 4}{2\ln 4-\ln 3}}\\x&\approx 1.4844\end{aligned}}$

对数方程 是一个方程，其中一个或多个项是对数。

例如，解 $\lg x+\lg(x+2)=2$

${\begin{aligned}\lg x+\lg(x+2)&=2\\\lg(x(x+2))&=2\\x(x+2)&=100\\x^{2}+2x&=100\\(x+1)^{2}&=101\\x+1&={\sqrt {101}}\\x&=-1\pm {\sqrt {101}}\end{aligned}}$

将关系转换为线性形式

在数学和科学中，处理线性关系比处理非线性关系更容易。对数可以用来将一些非线性关系转换为线性关系。

指数关系

指数关系的形式为 $y=ab^{x}$。如果我们对等式两边取自然对数，我们得到 $\ln y=\ln a+x\ln b$。现在我们得到了 $\ln y$ 和 $x$ 之间的线性关系。

例如，以下数据与指数关系相关。确定此指数关系，然后将其转换为线性形式。

x	y
0	5
2	45
4	405

${\begin{aligned}{\text{Exponential relationship }}\implies y&=ab^{x}\\5&=ab^{0}=a(1)\\a&=5\\y&=5b^{x}\\45&=5b^{2}\\9&=b^{2}\\b&=3\\y&=5(3^{x})\end{aligned}}$

现在通过对等式两边取自然对数将其转换为线性形式

${\begin{aligned}y&=5(3^{x})\\\ln y&=\ln 5+x\ln 3\end{aligned}}$

幂关系

幂关系的形式为 $y=ax^{b}$。如果我们对等式两边取自然对数，我们得到 $\ln y=\ln a+b\ln x$。这是 $\ln y$ 和 $\ln x$ 之间的线性关系。

例如，行星绕太阳运行的时间（轨道周期）与其到太阳的距离之间存在幂律关系。使用以下数据 推导出此幂律

行星	距离太阳 /106 公里	轨道周期 /天
地球	149.6	365.2
火星	227.9	687.0
木星	778.6	4331

${\begin{aligned}{\text{Power law}}\implies T&=aR^{b}\\{\text{Use Earth data}}\implies 365.2&=a(149.6^{b})\\\ln 365.2&=\ln a+b\ln 149.6\\{\text{Use Mars data}}\implies 687.0&=a(227.9^{b})\\\ln 687.0&=\ln a+b\ln 227.9\\\ln 687.0-\ln 365.2&=\ln a-\ln a+b\ln 227.9-b\ln 149.6\\\ln {\frac {687.0}{365.2}}&=0+b(\ln {\frac {227.9}{149.6}})\\b&={\frac {\ln {\tfrac {687.0}{365.2}}}{\ln {\tfrac {227.9}{149.6}}}}\approx 1.5011\\\ln 365.2&=\ln a+1.5011\ln 149.6\\\ln a&=\ln 365.2-\ln 1839.9\\\ln a&=\ln 0.1985\\a&=0.1985\\\therefore T&=0.1985R^{1.5011}\end{aligned}}$

参考资料

注释