微分方程在建模中的应用

开始之前你应该知道什么

你之前在核心 4 中做过类似的工作，但是问题会更高级。核心 4 的内容在这里有介绍，但是之前做过核心 4 会比较方便
你需要知道核心 2、核心 3 和核心 4 中的所有微积分知识
你需要学习过牛顿定律和力学 1 中的通用运动

一些定义

微分方程导论

体内药物的含量如何随时间变化？一杯咖啡需要多长时间才能冷却？月亮需要多少天才能恢复到相同的形状？这些问题都有一个共同点。它们都有一个不断变化的量。我们看到生活中大多数事物的变化。一些变化是永久的，比如咖啡的温度。一些有重复的模式，比如月球的周期。

你已经学习了很多描述这些变化的数学知识，但从未真正将它们应用到现实生活中。你从以前的微积分学习中知道，一个量的变化率称为导数。如果一个方程包含导数，它就是一个微分方程。

微分方程最简单的形式是显示一个变量相对于另一个变量的变化率，比如

1. ${\frac {dy}{dx}}=x+y$ ,
2. ${\frac {dP}{dt}}=0.02P$

这些是微分方程的两个非常基本的例子。你将在后面的章节学习如何解它们。

微分方程的解给出了变量之间的关系，不包含导数。上述微分方程的解由下式给出

1. $y=-x-1+Ce^{x}$
2. $P=Ae^{0.02t}$

(其中 C 和 A 是积分常数)

当涉及更高阶导数时（ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ ），或者如果它们包含更多变量，微分方程就会变得更加复杂。

建模

为了成功解决任何问题，你需要开发一个能够充分描述情况的数学模型。在本模块中，你将学习如何解决可以使用微分方程解决的问题。

对于某些问题，你可以直接进行数学运算。这通常是当你已经拥有可以应用于情况的模型时。这些通常包括：但不限于牛顿运动定律和许多运动学问题（基本上是力学 1 中的内容）。因此，你对一个问题的解决方案将取决于你做出的假设和简化，比如忽略空气阻力，或假设质量恒定等等。这有时会导致你的解决方案出现显著的误差。收集数据可以帮助你判断你的模型是否正确。

然而，有些问题需要开发自己的模型。这意味着你需要进行一些实验来找到你得到的结果之间的相关性。这将有助于你更好地理解问题，并帮助你制定数学模型。