A-level 数学/MEI/M1

力

位移 ($m$), 速度 ($ms^{-1}$), 加速度 ($ms^{-2}$) 和力 ($N$) 都是向量。向量有方向和大小，但通常以 ${\begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix}}$ 的形式定义，其中 i 通常为向东 (x 轴)，j 为向北 (y 轴)。这个向量的 绝对值（也称为大小）为 $|r|={\sqrt {i^{2}+j^{2}}}$，从水平正方向 i 开始的角度为 $\theta =\arctan {\frac {j}{i}}$。

在考虑力问题时，通常最好将系统作为一个整体来考虑，然后再分别考虑各个部分。您应该熟悉 ${\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {a}}$（力 = 质量乘以加速度），其中作用在质量为 m 的物体上的“净”力使其以加速度 a 加速。

示例

一个质量为 5 kg 的均匀球体受到 ${\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}}N$ 的力作用。计算加速度。

您可以使用 $a={\frac {F}{m}}$ 来解决这个问题：${\frac {\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}}{5}}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}ms^{-2}$ 如果需要，您可以找到此加速度的大小：$|a|={\sqrt {2^{2}+3^{2}}}={\sqrt {13}}$。

力分量

考试试卷总是要求你找出适当的力分量，这些分量通常涉及由绳索或杆引起的“张力”和“推力”。你不必担心它们的内部过程，只需考虑它们在两侧都存在一个贯穿始终的力。因此，如果您放置两个箱子，并用一根不可伸长的绳子连接起来，然后将这些箱子拉开，绳子内部就会产生张力。同样，对于一根刚性杆，如果您将一辆汽车与一辆拖车连接起来，然后刹车，杆将经历很大的压缩（推力），并对拖车产生向后的力。

由于力是向量（其他命名的量也是如此），如果给定一个以大小和方向形式表示的力，你可以使用三角学轻松计算向量的 i 和 j 分量。此模块中最常用的三角学是基本的$r_{V}=|r|\sin {\theta }$ 和 $r_{H}=|r|\cos {\theta }$.

非常常见的问题涉及以一定角度倾斜的斜面，以及作用在该斜面上物体的几个力。你需要分解平行于斜面和垂直于斜面的力，其中平行力总是与$\sin \theta$ 成正比，而垂直力（通常是反作用力）则与$\cos \theta$ 成正比。

运动学

你应该熟悉描述匀加速运动的Suvat 运动方程。

微积分在解题中的应用

加速度是速度的导数。速度是位移的导数。同样，位移是速度的积分，速度是加速度的积分。位移是加速度的积分。例如，如果我们考虑运动学，则方程$s=ut+{\frac {1}{2}}at^{2}$ 用于描述匀加速运动（相对于时间）将来自于：$s=\iint a\,dt\,dt=\int at+u\,dt={\frac {1}{2}}at^{2}+ut+c=c+ut+{\frac {1}{2}}at^{2}$

积分时一个非常常见的错误是漏掉了常数。另一个更严重的错误是求解给定积分（例如，t=3 到 t=6 之间），你需要找到所经过的总距离，而不是位移（速度可能变为负值，例如，在 t=5 时，导致位移变小）——因此你需要从 t=3 积分到 t=5，以及从 t=5 积分到 t=6，并将两者相加作为正值。

抛射运动

一个常见问题是求解将球抛过墙等情况。在抛射运动中，需要分别考虑 j 和 i 方向上的运动。如果你被要求求解抛射物的射程，最好的方法是求解 j 方向为 0 的时间（当然，t=0s 是第一个可能的时间），然后将该时间代回求解 i 方向。