三角函数/三角函数的几何定义

几何定义正切

在上一节中，我们用代数定义正切为 $\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$，这将是我们将来最常使用的定义。但是，从几何的角度理解正切函数可能会有所帮助。

几何定义正切

在单位圆上画一条切线：（即 $x=1$）。从圆半径上给定角度落点处画一条线，穿过圆心（O），到画出的切线上的一个点（Q）。这条线的纵坐标（QP）称为该角度的正切。

直线OQ 的斜率 = ${\frac {KC}{OC}}$，正如我们之前提到的

KC = sin(θ)，OC = cos(θ)

因此，直线OQ 的斜率 = ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$

同时，OQ 的斜率 = ${\frac {QP}{OP}}$ = ${\frac {QP}{1}}$ = ${\frac {\tan(\theta )}{1}}$ = tan(θ)

因此，我们可以推断出 tan(θ) = ${\frac {KC}{OC}}$ = ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ = QP = 点Q的纵坐标 = OQ的斜率

圆函数的定义域和值域

任何大小的角，正角或负角，都可以作为正弦或余弦的输入——结果将与从该角中减去或加上 2π（或 360°）的最大倍数相同。这两个函数的输出受单位圆半径的绝对值限制，$|1|$。

${\begin{matrix}&\mathrm {domain} &\mathrm {range} \\\mathrm {sine} &\mathbb {R} &[-1,1]\\\mathrm {cosine} &\mathbb {R} &[-1,1]\\\end{matrix}}$

R 代表所有实数的集合。

然而，正切函数没有此类限制，如上一节图表所示。正切函数定义域的唯一限制是，${\frac {\pi }{2}}$ 的奇数倍是不确定的，因为平行于切线的直线永远不会与之相交。

${\begin{matrix}&\mathrm {domain} &\mathrm {range} \\\mathrm {tangent} &\mathbb {R} \setminus \left\{\cdots ,-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}},\cdots \right\}&\mathbb {R} \\\end{matrix}}$

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将三角函数应用于直角三角形

如果您重新定义变量以对应直角三角形的边，如下所示
• x = a（邻边）
• y = o（对边）
• a = h（斜边）

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