A-level 数学/OCR/C4/代数与图

有理表达式

有理表达式在分子和分母中有多项式：${\frac {f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}$. 在某些情况下，有理函数可以简化，这使得微分、积分和简单的求解方程变得更容易。 如果你想简化一个分数，有一个简单的步骤可以遵循。

1. 完全分解分子和分母。

   ${\frac {ax^{3}+bx^{2}+cx+d}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {(ex+f)(x+g)(x+h)}{(ix+j)(x+g)(x+h)}}$

2. 如果分子和分母中有相同的因式，你可以将它们抵消。

   ${\frac {(ex+f){\cancel {(x+g)}}{\cancel {(x+h)}}}{(ix+j){\cancel {(x+g)}}{\cancel {(x+h)}}}}={\frac {(ex+f)}{(ix+j)}}$

3. 如果还有多个剩余的因式，你可以根据情况重新组合。

例子

简化以下表达式：${\frac {5x^{3}+40x^{2}+75x}{x^{2}+12x+35}}$.

1. 分解分子和分母，注意分子中可以提取出 5x。

   ${\frac {5x(x^{2}+8x+15)}{(x+5)(x+7)}}={\frac {5x(x+5)(x+3)}{(x+5)(x+7)}}$

2. 抵消相同的因式

   ${\frac {5x(x+5)(x+3)}{(x+5)(x+7)}}={\frac {5x(x+3)}{(x+7)}}$

3. 重新组合因式

   ${\frac {5x(x+3)}{(x+7)}}={\frac {5x^{2}+15x}{x+7}}$

多项式的除法

在核心四中，您将需要用线性或二次多项式除以最多四次的多项式。 这只有在分子大于分母的情况下才能工作。 结果将始终采用以下形式；${\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}$ 其中 q(x) 是结果多项式，而 ${\frac {r(x)}{g(x)}}$ 是余数。

长除法

多项式长除法与普通长除法非常相似。 我将用一个问题来演示长除法的工作原理。

用 $x^{2}+3x-1$ 除以 $x^{3}+8x^{2}-4x+10$。

第一步是设置方程。 确保它是从 x 的最高次幂到 x 的最低次幂的顺序。

然后我们用除数的第一项除以被除数的第一项。

${\frac {x^{3}}{x^{2}}}=x$

我们将这个结果放在顶部。

然后我们将结果乘以除数，并从被除数中减去它。

$x\left(x^{2}+3x-1\right)=x^{3}+3x^{2}-x$

剩下的部分成为新的被除数，我们再次重复这个过程。 我们继续这样做，直到第一项的次数小于除数的第一项的次数。 剩下的部分是余数。

综合除法

示例一

用 x-3 除以 $2x^{5}+5x^{2}-10x^{3}-30x-171$。

除数是 c。 所以在这种情况下它将是 3。

然后我们需要从最高次幂到最低次幂排列我们的除数，如果缺少次幂，则用零替换它。

$2x^{5}+0x^{4}-10x^{3}+5x^{2}-30x-171$

然后我们只看系数。

2 + 0 - 10 + 5 - 30 - 171

现在我们设置我们的除法方程。

接下来我们向上搬运除数的第一项。

然后我们将结果乘以除数，并将其加到下一项。

我们继续这样做，直到到达结尾。

现在我们需要读取变量。 当我们读取变量时，我们从最高次幂 -1 到最低次幂。 最后一个数字是余数。

$2x^{4}+6x^{3}+8x^{2}+29x+57$ 余数 0。

这是问题的答案。

部分分式

只有真分数才能分解成部分分数。真分数是指分子次数小于分母次数的分数。部分分数可用于简化微分、积分或级数运算。部分分数分解的目标是将一个复杂的多分式分解成多个较简单的多分式。为了创建部分分数分解方程，您需要：

1. 对分子和分母进行因式分解。

   ${\frac {ax^{2}+bx+c}{ax^{3}+bx^{2}+cx+d}}\equiv {\frac {(ix+j)(kx+l)}{(ax+b)(cx+d)(ex+f)}}$

2. 通过将每个因式作为分母，并在分子上使用一个唯一的变量，来创建部分分数。

   ${\frac {(ix+j)(kx+l)}{(ax+b)(cx+d)(ex+f)}}\equiv {\frac {A}{(ax+b)}}+{\frac {B}{(cx+d)}}+{\frac {C}{(ex+f)}}$

3. 将每个分数乘以原始分数的分母。

   ${\frac {(ix+j)(kx+l)(ax+b)(cx+d)(ex+f)}{(ax+b)(cx+d)(ex+f)}}\equiv$

   ${\frac {A(ax+b)(cx+d)(ex+f)}{(ax+b)}}+{\frac {B(ax+b)(cx+d)(ex+f)}{(cx+d)}}+{\frac {C(ax+b)(cx+d)(ex+f)}{(ex+f)}}$

4. 取消所有相同的因式。

   $(ix+j)(kx+l)\equiv A(cx+d)(ex+f)+B(ax+b)(ex+f)+C(ax+b)(cx+d)$

5. 将所有因式相乘。

   $ikx^{2}+ilx+jlx+jl\equiv$

   $(Acex^{2}+Acfx+Adex+Adf)+(Baex^{2}+Bafx+Bbex+Bbf)+(Cacx^{2}+Cadx+Cbdx+Cbd)\,}$

6. 将所有具有相同指数的 x 项分组在一起。

   $ikx^{2}+(il+kj)x+jl\equiv$

   $(Ace+Bae+Cac)x^{2}+\left(Acf+Ade+Baf+Bbe+Cad+Cbd\right)x+\left(Adf+Bbf+Cbd\right)$

7. 等式两边相同指数的 x 系数相等。利用这一事实，使用联立方程求解分子中的变量。这种方法称为系数比较法。

   $ik\equiv \left(Ace+Bae+Cac\right)$

   $\left(il+kj\right)\equiv \left(Acf+Ade+Baf+Bbe+Cad+Cbd\right)$

   $jl\equiv \left(Adf+Bbf+Cbd\right)$

8. 在步骤 2 中，用上一步获得的变量值替换变量 A、B、C。

示例一

将以下表达式改写成部分分式：${\frac {x^{2}+13x+40}{2x^{3}+27x^{2}+111x+140}}$.

1. 利用进一步纯化 1：多项式方程的根 中的知识。我们可以将分母分解如下。

   ${\frac {x^{2}+13x+40}{2x^{3}+27x^{2}+111x+140}}\equiv {\frac {(x+5)(x+8)}{(2x+5)(x+7)(x+4)}}$

2. 现在我们开始进行部分分式分解。

   ${\frac {x^{2}+13x+40}{(2x+5)(x+7)(x+4)}}\equiv {\frac {A}{(2x+5)}}+{\frac {B}{(x+7)}}+{\frac {C}{(x+4)}}$

3. 接下来，我们将原始表达式的所有项乘以分母。

   ${\frac {x^{2}+13x+40(2x+5)(x+7)(x+4)}{(2x+5)(x+7)(x+4)}}\equiv$

   ${\frac {A(2x+5)(x+7)(x+4)}{(2x+5)}}+{\frac {B(2x+5)(x+7)(x+4)}{(x+7}}+{\frac {C(2x+5)(x+7)(x+4)}{(x+4)}}$

4. 现在我们消去相同项。

   $(x+7)(x+8)\equiv A(x+7)(x+4)+B(2x+5)(x+4)+C(2x+5)(x+7)$

5. 然后将所有因子相乘。

   $x^{2}+13x+40=Ax^{2}+11Ax+28A+2Bx^{2}+13Bx+20B+2Cx^{2}+19Cx+35C\,$

6. 然后将各项归类。

   $x^{2}+13x+40=(A+2B+2C)x^{2}+(11A+13B+19C)x+(28A+20B+35C)\,$

7. 现在我们对系数进行等式化。然后我们需要解联立方程。

   $1\equiv (A+2B+2C)\equiv \,$

   $13\equiv (11A+13B+19C)\,$

   $40\equiv (28A+20B+35C)\,$

   1. 首先我们对A进行等式化。

      $1\equiv (A+2B+2C)\equiv A=1-2B-2C\,$

      然后

      $13\equiv 11(1-2B-2C)+13B+19C\equiv 11-22B-22C+13B+19C\equiv 11-9B-3C$

      $9B\equiv 3C+2$

      $B\equiv -{\frac {3C+2}{9}}$

   2. 我们可以进一步将A与

      $A\equiv 1-2(-{\frac {3C+2}{9}})-2C$

      $A\equiv {\frac {13-12C}{9}}$

   3. 现在我们可以解出C。

      $40\equiv (28({\frac {13-12C}{9}})+20(-{\frac {3C+2}{9}})+35C)\,$

      $40\equiv (({\frac {364-336C}{9}})+(-{\frac {60C+40}{9}})+35C)\,$

      $40=36-9C\,$

      $C={\frac {-4}{9}}$

   4. 现在我们可以求解其余部分

      $A\equiv {\frac {13-12{\frac {-4}{9}}}{9}}={\frac {55}{27}}$

      $B\equiv -{\frac {3C+2}{9}}={\frac {-2}{27}}$

      $C\equiv {\frac {-4}{9}}$

8. 现在我们可以写出我们的部分分式

   ${\frac {x^{2}+13x+40}{(2x+5)(x+7)(x+4)}}\equiv {\frac {55}{27(2x+5)}}-{\frac {2}{27(x+7)}}-{\frac {4}{9(x+4)}}$