A-level 数学/OCR/FP1/多项式方程的根

在本模块中，我们将讨论对称多项式与其根之间特殊的关系。这种特性使得更容易找到对称多项式的根或将因子相乘。

对称多项式

在数学中，如果将原始多项式的根进行任意交换，多项式保持不变，则该多项式被认为是对称的。例如，多项式 $8x^{3}+16x^{2}-22x-30$ 是对称的，因为它的因式分解形式为 $(2x-3)(2x+2)(2x+5)$，如果交换根，得到的多项式将相同。但是，多项式 $4x^{3}+12x^{2}-7x-30$ 不是对称的，因为它的因式分解形式为 $(2x-3)(x+2)(2x+5)$，如果交换根，得到的多项式将是 $4x^{3}+18x^{2}-16x-30$，如果交换 2 和 5 的位置。

二次多项式的根

如果我们需要找到给定二次函数的根，我们可以使用两个公式来帮助我们找到二次方程的根。

令 $\alpha \,$ 和 $\beta \,$ 是 $ax^{2}+bx+c=0\,$ 的根。则，$\alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},\quad \alpha \beta ={\frac {c}{a}}$

示例

求方程 $ax^{2}+bx-48\,$ 中 a 和 b 的值，已知 $\alpha +\beta =6\,$ 且 $\alpha \beta =-16\,$。

1. 首先，我们需要找到 a 和 b 的值。我们可以利用根与系数的关系来求解 a 和 b。
   1. $\alpha \beta =-16={\frac {-48}{a}}\,$ 从这个等式中我们可以得出 a = 3。
   2. $\alpha +\beta =6=-{\frac {b}{a}}\,$
2. 现在我们已经知道 a = 3，我们可以将第二个等式写成

   $\alpha +\beta =6=-{\frac {b}{3}}\,$ 因此我们可以得出 b = -18。

3. 现在我们可以写出完整的方程。

   $3x^{2}-18x-48\,$

三次方程的根

如果我们需要求解一个给定的三次函数的根，我们可以使用三个公式来帮助我们找到三次方程的根。

令 $\alpha ,\beta \,$ 和 $\gamma \,$ 为 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$ 的根。那么，$\sum \alpha =-{\frac {b}{a}},\quad \sum \alpha \beta ={\frac {c}{a}},\quad \alpha \beta \gamma =-{\frac {d}{a}}$

其中：$\sum \alpha =\alpha +\beta +\gamma$

以及：$\sum \alpha \beta =\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma$

示例

在这个例子中，我们考虑三次方程 $x^{3}+21x^{2}+cx+280=0$ 的特殊情况，其中 c 需要确定，并且我们知道它的 3 个根是 等差数列。因此，我们可以将根写成 p，p + q，p - q 的形式。同时对等式进行因式分解。

1. 首先，我们要使用$\sum \alpha$来找到 p。

   $\sum \alpha =p+(p+q)+(p-q)=-{\frac {21}{1}}$

   $\sum \alpha =3p=-21$

   $p=-7\,$

2. 接下来，我们需要找到 q 的值。

   $-7(-7+q)(-7-q)=-{\frac {280}{1}}$

   $7q^{2}-343=-280\,$

   $7q^{2}=63\,$

   $q^{2}=9\,$

   $q=3\,$

3. 现在我们可以写出我们的根。

   (-7 - 3),-7,(-7 + 3)

   -10,-7,-4

4. 现在我们可以找到 c。

   $\sum \alpha \beta =-7\times -4+-7\times -10+-10\times -4={\frac {c}{1}}$

   $138=c\,$

5. 完整的方程是$x^{3}+21x^{2}+138x+280=0$
6. 最后，我们写出因式分解后的方程。
7. $(x+7)(x+4)(x+10)=0\,$

简单根代换

如果您在一个多项式方程中将每个根增加 n，您可以通过将原始多项式方程中的每个 x 项替换为 (x - n) 来计算结果方程。这将导致二项式展开，所以请确保您对它很熟悉。

示例

假设三次方程 $x^{3}+x^{2}-22x-40=0\,$ 的根为 $\alpha \,,\beta \,$ 和 $\gamma \,$。求一个根为 $\alpha -2\,,\beta -2$ 和 $\gamma -2\,$ 的三次方程。

1. 如果 $x=\alpha -2$ 那么 $\alpha =x+2$。由于 $\alpha$ 是原方程的根，你可以用 x + 2 替换每个 x 项

   $\left(x+2\right)^{3}+\left(x+2\right)^{2}-22\left(x+2\right)-40=0$

2. 使用 二项式展开，我们可以很容易地找到这些项。

   $\left(x^{3}+6x^{2}+12x+8\right)+\left(x^{2}+4x+4\right)-22\left(x+2\right)-40=0$

3. 最后，我们把所有的项合并起来，得到

1. $x^{3}+7x^{2}-6x-72\,$

这是 FP1（进阶纯数学 1）模块中 A 级数学 课本的一部分。