A-level 数学/OCR/M3/圆周运动

运动的一般方程

考虑一个在半径为 $r$ 的圆形轨道上运动的粒子，圆心位于原点 O。

令 $\mathbf {r}$ 表示粒子的位移。使用角位移 $\theta$ （从正 $x$ 轴测量）作为参数，我们有

$\mathbf {r} =r\left[{\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{matrix}}\right]$ .

为了获得粒子的速度 ${\dot {\mathbf {r} }}$ ，我们对 $\mathbf {r}$ 关于时间 $t$ 进行求导。应用链式法则，我们有

${\dot {\mathbf {r} }}$	$={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$
	$={\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}$
	$=\left(r{\frac {d}{d\theta }}\left[{\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{matrix}}\right]\right)\left({\dot {\theta }}\right)$
	$=r{\dot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]$

为了确定粒子的加速度 ${\ddot {\mathbf {r} }}$ ，我们对 ${\dot {\mathbf {r} }}$ 关于 $t$ 求导，得到

${\ddot {\mathbf {r} }}$	$={\frac {d{\dot {\mathbf {r} }}}{dt}}$
	$={\frac {d{\dot {\mathbf {r} }}}{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}$
	$=\left(r{\frac {d}{d\theta }}\left\{{\dot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]\right\}\right)\left({\dot {\theta }}\right)$
	$=r{\dot {\theta }}\left({\dot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\cos \theta \\-\sin \theta \end{matrix}}\right]+{\ddot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]\right)$
	$=-r{\dot {\theta }}^{2}\left[{\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{matrix}}\right]+r{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]$

总结

为了简化我们的表达式，我们引入单位向量 ${\hat {\mathbf {r} }}=\left[{\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{matrix}}\right]$ ，以及 ${\hat {\mathbf {n} }}=\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]$ 。观察到 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 垂直于 ${\hat {\mathbf {n} }}$ ，因为 ${\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0$ 。

从上面的推导，我们得到以下结论

位移 $\mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}$
速度 ${\dot {\mathbf {r} }}=r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {n} }}$
加速度 ${\ddot {\mathbf {r} }}=-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}{\hat {\mathbf {n} }}$